高二数学球的概念球的性质球面距离

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1、§9．9球(1)球的概念问题1：*圆是怎样定义的？答：在一个平面内到一个定点的距离为定长的点的集合是一个圆．*圆是否包括圆周以内的点？答：不包括．*谁来给圆面下个定义？答：在一个平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是一个圆面．问题2：谁能模仿圆和圆面给球面和球下定义？答：在空间，到一个定点的距离为定长的点的集合是一个球面；在空间，到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是一个球．问题3：*你是如何画圆的？*球是否也可以通过旋转得到？球心球的半径球的直径定义：与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简

2、称球。与定点距离等于定长的点的集合叫做球面。球的截面形状如右图：用红、蓝、灰、绿四个不同颜色的平面去截球得到红、蓝、灰、绿四个圆形截面。球的性质问题：在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的位置关系是垂直．那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面的位置关系是什么呢？性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面．性质2：球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：球的性质球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过的截面截得的圆叫做小圆。问题：在球中，球心到截面的距离与截面圆的大小有什么关系？当时，截面过球心，这时，截面圆

3、最大，这个圆叫大圆；当增大时，截面圆越来越小，当时，截面是小圆，当时，截面圆缩为一个点，这时截面与球相切．练习：判断正误：（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（）（2）在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。（）（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（）（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（）（5）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。（）√√×××OAP北极南极三、地球仪中的经纬度纬线赤道经线1、经线和纬线的规定：过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆

4、是纬线。2、经度和纬度的规定：G等于∠GPO的度数P地的纬度就是经过P点的球半径和赤道平面所成的线面角∠POA的度数BMA本初子午线地轴经过B点的经线与地轴确定的半平面和本初子午线与地轴确定的半平面所成的二面角的度数（即∠AMB的度数）思考：怎样转是东经？怎样转是西经？B地的经度的规定：O三、两点间的球面距离在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度————这个弧长叫两点的球面距离距离公式：（其中R为球半径，a为A,B所对应的球心角的弧度数）二，范例例1我国首都靠近北纬40o，求北纬

5、40o纬线的长度等于多少？（地球半径大约为6370km）是它的半径，解：如图，是北纬上一点，∴，∵，答：北纬纬线长约等于．例2．在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离。解：设经过三点的截面为⊙设球心为，连结，则平面∵，所以，球心到截面距离为．，∴，，所以，两点的球面距离等于解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，∴，∴，∴，∴，∴中，，．说明：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离两点，设该纬度圈上例3．在北纬圈上有两点的劣弧长为（两点间的球面

6、距离为地球半径），求③已知球的两个平行截面的面积分别是①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．②球半径为四、课堂练习：1，球心到截面距离为，则截面面积为____和，它们位于球心同一侧，，则球半径是．直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为．⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（且相距④球为地球半径），则这两地间的球面距离为．2．北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为；3．一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为一个或无数个，则球半径为；4.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两

7、点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．球的有关概念；球的截面的概念；经度、纬度的概念；两点间的球面距离球的概念和性质与圆的很多性质是相似的，我们可以结合圆的性质去理解、掌握球的性质；地球上两点间的距离，实质上是球面上两点间的距离，她也具有距离的概念的共同特征—最小性．小结：