构造函数在含参数不等式问题中的应用

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1、《构造函数在含参数不等式问题中的应用》发表在《中国多媒体教学学报》2007年第3期构造函数在含参数不等式问题中的应用王新敞（新疆奎屯市第一高级中学，特级教师，邮编833200）夏桂芳（新疆石河子市第二中学，高级教师，邮编832000）摘要：构造函数，是重要的数学方法.运用构造法解题，是培养学生创造意识和创新思维的手段之一.其实创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征.而构造法正是从这方面训练学生的思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，从而培养学生的创新思维能力.关键词：构造函数，参数，求值正文：构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，

2、深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用.它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己思维范围。运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。具体的说构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借它认识与解决原问题的一种思想方法.通过巧妙地构造辅助函数，把

3、原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的.本文主要运用构造辅助函数解答关于求参数范围及求值问题的非函数问题.一、确定参数的范围例1若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围.解：原不等式可化为.构造函数，，其图象是一条线段.根据题意，只须，即解得.所以，使不等式对满足的所有都成立的取值范围为.点评：注意到本题有两个变量、，且本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为的一次函数，大大简化了运算.在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数.例2，其中是实数,是任意自然数且.若在时有意义，求的取值范围；解：当时有意义等价于 且时恒成立，即恒成立.①因为上都

4、是增函数, 所以在(-∞,1]上也是增函数,从而它在时取得最大值.因此,①式等价于，也就是的取值范围为.例3已知不等式对一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围.解：构造函数，由，知为增函数，最小值为.故只须成立，解得.以上三例都是历年的高考试题，都与不等式恒成立有关，直接入手，难以解决，根据题目的特点，构造函数，就可以使问题快速解决.数列实际上是一列特殊的函数值，因此有许多与自然数有关的问题从函数的角度去处理有较好的效果.二、求值问题例4设，为常数，，则的值为（）A.-17B.-7C.14D.7解：，令，则为奇函数，从而有，例5设分别是方程和的根，求的值.　　解：构造函数，则在区间上是单调

5、增函数，由是方程的根，得，即；由是方程的根，得，所以因此，也就是，即.从而有.由在区间上是单调增函数得，所以.总之，构造函数具有较强的灵活性和创新性，在数学解题时，观察题目的特点,发现条件中的关系,结合所学函数以及数学问题所处的背景，灵活构造，构造出符合题目特点的函数,必会事半功倍，收到意想不到的效果.