(论文)构造函数在解题中的应用

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1、(论文)构造函数在解题中的应用构造函数在解题中的应用陶华君（河南省中牟县第二高级中学，451450）5/5(论文)构造函数在解题中的应用在本刊《高中数学教与学》2011年第4期第20页有这样一道例题：实数为何值时，不等式对任意恒成立？文中给出的解法是“直接构造”辅助函数，笔者认为两种解法学生都不太容易接受，如能采用22页提到的“构造一对函数”，并借助函数图象，学生理解起来就容易多了．下面，笔者就从这道题出发，并结合近几年来的高考题，谈谈构造函数在解题中的应用．一、在不等式题目中构造函数例1　实数为何值时，不等式对任意

2、恒成立？．解析：不等式两边可构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图1所示．∵，∴当时，即在点处的切线的斜率，∴在点处的切线方程为，正好是时的函数图象．从图1可以看出对任意恒成立的条件是，也即满足题意的实数的取值范围为．例2（2010全国Ⅰ，理13）不等式的解集是_________．解析：不等式两边移项后可构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图2所示．yx图　11０yx图　22０∵原不等式的解集等价于的解集且当时，易得0或2，∴从图2可以看出成立的条件是，即原不等式的解集是．

3、5/5(论文)构造函数在解题中的应用yx０图　4　y1y2１确5　2确评注：在不等式题目中构造出两个函数，然后在同一平面直角坐标系中作出函数图象，利用数形结合，很易解决此类问题．5/5(论文)构造函数在解题中的应用二、在方程题目中构造函数例3（2008湖北，文14）方程的实数解的个数为_________．解析：方程两边移项后可构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图3所示．∵当时，0，2，∴从图3可以看出、的函数图象有两个交点．故方程的实数解的个数为．图　5yx02例4（2009辽宁，理12）若满

4、足，满足，则．　　．　　．　　．解析：由得，构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图4所示．yx０图　32∵当时，当时，∴从图4可以看出．由得，构造函数，，在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图5所示．∵当时，当时，∴从图5可以看出．∴，故本题的答案选．例5（2010上海，理17）若是方程5/5(论文)构造函数在解题中的应用的解，则属于区间....yx０图　6解析：构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图6所示．∵当时，＞；当时，＜．∴从图6可以看出、函数图象的交点横

5、标在区间上，即方程的解属于区间，故本题的答案选．评注：在方程题目中构造函数，体现了数学思想中的方程与函数的思想，同时利用数形结合，很容易解决此类问题．构造函数来解答方程题目是我们应该掌握的解题技巧，同时也明确了确定方程近似根以及相关函数近似零点的方法．三、在函数题目中构造函数例6（2009山东，理14）函数＝有两个零点，则实数的取值范围是_________．解析：构造函数＝和＝，则函数＝有两个零点等价于和的函数图象有两个交点．当时，在同一平面直角坐标系中分别作出和的函数图象，如图7所示．由图7可知，函数和的图象只有一

6、个交点，不符合题意；yx０图　7　当时，在同一平面直角坐标系中分别作出和的函数图象，如图8所示．∵当时，，，∴从图8可以看出和的函数图象一定有两个交点．故满足题意的实数的取值范围是．5/5(论文)构造函数在解题中的应用图　8yx0例7（2010天津，理2）函数的零点所在的一个区间是．．．．解析：构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图9所示．－１yx０图　9∵当时，＜；当时，＞．∴从图9可以看出、函数图象的交点横标在区间上，即函数的零点所在的一个区间是，故本题的答案选．例8（2010天津，文4）函

7、数的零点所在的一个区间是．．．．解析：构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图10所示．１yx０图　10∵当时，＜；当时，＞．∴从图10可以看出、函数图象的交点横标在区间上，即函数的零点所在的一个区间是，故本题的答案选．例9（2011全国新课标，文10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为....解析：构造函数，5/5(论文)构造函数在解题中的应用．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图11所示．yx０图　11∵当时，＜；当时，＞．∴从图11可以看出、函数图象的交点横标在区间上，即函数的

8、零点所在的区间为，故本题的答案选．例10（2011陕西，理6）函数在内.没有零点.有且仅有一个零点.有且仅有两个零点.有无穷多个零点解析：构造函数，．在同一平面直角坐标系中分别作出、的函数图象，如图12所示．由图12可知，在内函数和的图象只有一个交点，即函数在，内有且仅有一个零点，故本题的答案选．yx０图　12　评注：函数是中学数学中最重要的基