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时间:2019-01-12
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1、构造函数在高中数学解题中的应用 摘要:在高中数学中,构造函数是常见方法之一。文章结合教学实践,探讨如何通过构造函数思想解决数学问题。 关键词:函数;高中数学;解题应用 中图分类号:G633.6文献标志码:B文章编号:1008-3561(2015)31-0063-01 高中数学中的转化思想,是将未知、陌生的问题转化成熟悉的问题。通过对已知条件及结论的分析,构造出函数、方程、不等式、向量、复数等辅助元素,进而联系条件和结论找到解题途径。这称为构造法。在高中数学中,构造函数是常见方法之一,有构造高次函数、构造指数函数、构造一
2、次函数、构造二次函数、构造分式函数、构造三角函数函数及构造可求导函数等多种类型。 一、构造高次函数解题 例1:如果sin3θ-cos3θ>,且θ∈(0,2π),那么角θ的取值范围是().解答:不等式sin3θ-cos3θ>等价于sin3θ+>cos3θ+。设f(x)=x3+x5,显然f(x)=x3+x5是(-∞,+∞)上的增函数,于是有不等式f(sinθ)>f(cosθ),从而得sinθ>cosθ,再结合θ∈(0,2π),得<θ<.这里构造高次函数f(x)=x3+x5,再利用函数的单调性转化原不等式,得到所求变量的取值范围
3、。 二、构造指数函数解题4 例2:已知a、b、c为三角形的三边,且a2+b2=c2,n为正整数,且n>2,求证:cn>an+bn.证明:由a2+b2=c2,知0 x+ x,易证f(x)在(2,+∞)上是减函数。所以n>2时,f(n)2)证明了不等式cn>an+bn。 三、构造一次函数解题 例3:设不等式2x-1>m(x2-1)对于一切满足
4、m
5、≤2的值均成立,求x的取值范围.解答:原不等式可化为(x2
6、-1)m-(2x-1)<0,构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),(
7、m
8、≤2).由一次函数的图像性质知f(-2)<0 f(2)<0,解得9、)≤0,也即4(1-a)2-8(1-a2)≤0,解得-≤a≤41.本题将b+c和b2+c2看作整体,构造二次函数f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2,利用二次函数性质得到判别式的不等式,从而求得结果。 五、构造分式函数解题 例5:证明对任意的实数a和b,不等式≤+成立.证明:构造f(x)=(x≥0),f′(x)=>0,所以f(x)在[0,+∞]上单调递增,而10、a+b11、≤12、a13、+14、b15、,故f(16、a+b17、)≤f(18、a19、+20、b21、),即≤=+≤+,所以原不等式成立.这道题构造分式函数f(x)=(x≥0),将原本复杂的不等式22、证明变得简单。 六、构造三角函数解题 例6:求函数y=的值域.解答:原函数可化为:y==??,设x=tana,则=cos2a,=sin2a,所以y=cos2a?sin2a=sin4a.根据-1≤sin4a≤1,得y∈[-,].这里将原函数变形后容易联想到三角中的万能公式,进而把原函数转化为三角函数,容易求得值域。 七、构造可导函数解题 例7:若x∈(0,+∞),求证:0,所以t>1,x=,则原不等式等价于1-1),f(t)=1->0,所以f(t)在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=0,即lnt1),g′(t23、)=-=>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,故g(t)>g(1)=0,即lnt>1-,所以原不等式成立。本题通过换元将原不等式的对数真数部分化简,再构造两个可导函数,从而证明原不等式成立,这种构造思想在证明不等式中经常使用。 八、结束语4 函数是高中数学的重点内容之一,利用构造函数思想解题较为普遍。这需要学生熟悉函数的形式及函数性质,才能选对函数模型,从而既解决问题,又事半功倍。 参考文献: [1]高飞.构造函数证明不等式[J].高中数学教与学,2006(09). [2]傅仕玲.用构造法证明不等式[J].数学24、教学通讯,2009(21).4
9、)≤0,也即4(1-a)2-8(1-a2)≤0,解得-≤a≤41.本题将b+c和b2+c2看作整体,构造二次函数f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2,利用二次函数性质得到判别式的不等式,从而求得结果。 五、构造分式函数解题 例5:证明对任意的实数a和b,不等式≤+成立.证明:构造f(x)=(x≥0),f′(x)=>0,所以f(x)在[0,+∞]上单调递增,而
10、a+b
11、≤
12、a
13、+
14、b
15、,故f(
16、a+b
17、)≤f(
18、a
19、+
20、b
21、),即≤=+≤+,所以原不等式成立.这道题构造分式函数f(x)=(x≥0),将原本复杂的不等式
22、证明变得简单。 六、构造三角函数解题 例6:求函数y=的值域.解答:原函数可化为:y==??,设x=tana,则=cos2a,=sin2a,所以y=cos2a?sin2a=sin4a.根据-1≤sin4a≤1,得y∈[-,].这里将原函数变形后容易联想到三角中的万能公式,进而把原函数转化为三角函数,容易求得值域。 七、构造可导函数解题 例7:若x∈(0,+∞),求证:0,所以t>1,x=,则原不等式等价于1-1),f(t)=1->0,所以f(t)在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=0,即lnt1),g′(t
23、)=-=>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,故g(t)>g(1)=0,即lnt>1-,所以原不等式成立。本题通过换元将原不等式的对数真数部分化简,再构造两个可导函数,从而证明原不等式成立,这种构造思想在证明不等式中经常使用。 八、结束语4 函数是高中数学的重点内容之一,利用构造函数思想解题较为普遍。这需要学生熟悉函数的形式及函数性质,才能选对函数模型,从而既解决问题,又事半功倍。 参考文献: [1]高飞.构造函数证明不等式[J].高中数学教与学,2006(09). [2]傅仕玲.用构造法证明不等式[J].数学
24、教学通讯,2009(21).4
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