构造函数在解题中的应用(改3)

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1、构造函数在解题中的应用山东省定陶县第一中学谢于民274100函数思想,指运用函数的概念和性质,通过类比联想转化合理地构造函数,然后去分析、研究问题,转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数量特征,建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地们,应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中,而且对于诸如方程、不等式、几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。下面我们就举例说明构造函数的方法在解题中的应用。一、构造方程中的函数函数与方程有着密切的关系,对于条件中的方

2、程若能巧妙构造出函数利用函数性质解题,则是一种创造性思维活动,往往可以使问题化难为易,避繁就简。例1.设x、y∈[-,],且求cos(x+2y)的值。②①解:由①2a=x+sinx由②2a=(-2y)+sin(-2y)8故构造函数f(x)=x+sinx则f(x)=f(-2y)因为f′(x)=3x+cosx>0所以f(x)在[-,]上是增函数由f(x)=f(-2y)得x=-2y即x+2y=0所以cos(x+2y)=1评:通过变换题设中给出的的方程组,可构造函数f(x)=x+sinx,然后转化为同一函数的两个函数值相等,

3、再利用函数的单调性得出两自变量相等,进而得解。例2.已知分别满足·lg=1004,·10=1004则等于()AB1004CD2008解:令f(x)=10f(x)=f(x)=由·lg=1004得lg=所以方程·lg=1004的根即为函数f(x)=与函数f(x)=的图象交点A的横坐标,故可设A(,)同理,方程·10=1004的根即为函数f(x)=10与f(x)=的图象交点B的横坐标可设B(,)8因为f(x)=图象关于y=x对称f(x)=10与f(x)=lgx互为反函数图象关于y=x对称所以A、B关于y=x对称所以=所以=

4、1004故选B评:由已知方程的特点,构造函数f(x)=x、f(x)=、f(x)=10,把方程的根看作两函数图象交点的横坐标,利用三函数图象的对称性得出交点的对称性而得解。一、构造不等式中的函数不等式的证明是高中数学中的一个常见问题,在各类考试中经常出现,许多学生往往感到有些困难,找不到思路,有些问题如果构造辅助函数利用函数性质来证明不等式,将思路简捷,而且有一定的方法和规律。例3.(2011辽宁高考)函数f(x)的定义域为R,,f(-1)=2对任意xR,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A(-1,1)B

5、(-1,+)C(-,-1)D(-,+)解:令g(x)=f(x)-2x-4则g(-1)=f(-1)-2·(-1)-4=0又g′(x)=f′(x)-2>0所以g(x)在(-,+)上是增函数8所以原不等式可化为g(x)>g(-1)所以x>-1故选B评:f(x)解析式不具体,通过构造新的函数,借助函数的单调性,由函数值的大小转化为所求自变量x的取值集合。例4已知数列其中==求证:<证明:因为==所以==令f(x)=x-则f′(x)=1-cosx令f′(x)=0得cosx=所以给定区间(0,)f′(x)<0所以f(x)在(0,

6、)上单调递减所以f(x)

7、平面PAC。而AF平面PAC,所以BCAF。又因为AFPC,,所以AF平面PBC。而EF平面PBC,所以AFEF.所以EF是AE在平面PBC内的射影。因为AEPB,所以EFPB,所以PE平面AEF。在RtPAB中,因为AP=AB=2,AEPB,所以PE=,AE=,AF=sin,EF=cos。因为,所以所以,评:的变化是由AC与BC的变化引起的,要求三棱锥P-AEF的体积,则需找到三棱锥P-AEF的底面积和高,高为定值时,底面积最大,则体积最大。例6、已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足=2,点P在线段AB上,且(

8、t是不为零的常数)。(1)求点P的轨迹方程C;(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上),点Q(,3),求QMN面积S的最大值。8解:8评:上例抓住了双曲线方程和椭圆方程中两个变量的联系,将目标函数构造成二元目标函数的表达式,由此求解最值,也使得运算过程更为简洁。构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法,这种方法也

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