构造函数在解题中的应用(改).doc

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1、构造函数在解题中的应用山东省定陶县第一中学谢于民274100函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地们，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试卷中，而且对于诸如方程、不等式、几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。下面我们就举例说明构造函数的方法在解题中的应用。b5E2RGbCAP一、构造方程中的函数函数与方程有着密切的关系，对于条件中的方程若能巧妙构造出函数利

2、用函数性质解题，则是一种创造性思维活动，往往可以使问题化难为易，避繁就简。p1EanqFDPw例1．设x、y∈[-,],且求cos(x+2y>的值。②①解：由①2a=x+sinx由②2a=(-2y>+sin(-2y>8/8故构造函数f(x>=x+sinx则f(x>=f(-2y>因为f′(x>=3x+cosx>0所以f(x>在[-,]上是增函数由f(x>=f(-2y>得x=-2y即x+2y=0所以cos(x+2y>=1评：通过变换题设中给出的的方程组，可构造函数f(x>=x+sinx，然后转化为同一函数的两个函数值相等，再利用函数的单调性得出两自变量相等，进而

3、得解。DXDiTa9E3d例2.已知分别满足·lg=1004,·10=1004则等于<）AB1004CD2008解：令f(x>=10f(x>=f(x>=由·lg=1004得lg=所以方程·lg=1004的根即为函数f(x>=与函数f(x>=的图象交点A的横坐标，故可设A(,>RTCrpUDGiT同理，方程·10=1004的根即为函数f(x>=10与f(x>=的图象交点B的横坐标8/8可设B<，）5PCzVD7HxA因为f(x>=图象关于y=x对称f(x>=10与f(x>=lgx互为反函数图象关于y=x对称所以A、B关于y=x对称所以=所以=1004故选B评：

4、由已知方程的特点，构造函数f(x>=x、f(x>=、f(x>=10，把方程的根看作两函数图象交点的横坐标，利用三函数图象的对称性得出交点的对称性而得解。jLBHrnAILg一、构造不等式中的函数不等式的证明是高中数学中的一个常见问题，在各类考试中经常出现，许多学生往往感到有些困难，找不到思路，有些问题如果构造辅助函数利用函数性质来证明不等式，将思路简捷，而且有一定的方法和规律。xHAQX74J0X例3.<2018辽宁高考）函数f(x>的定义域为R,，f(-1>=2对任意xR，f′(x>>2，则f(x>>2x+4的解集为<）A(-1,1>B(-1,+>C(-,

5、-1>D(-,+>解：令g(x>=f(x>-2x-4则g(-1>=f(-1>-2·(-1>-4=08/8又g′(x>=f′(x>-2>0所以g(x>在(-,+>上是增函数所以原不等式可化为g(x>>g(-1>所以x>-1故选B评：f(x>解读式不具体，通过构造新的函数，借助函数的单调性，由函数值的大小转化为所求自变量x的取值集合。LDAYtRyKfE例4已知数列其中==求证：<证明：因为==所以==令f(x>=x-则f′(x>=1-cosx令f′(x>=0得cosx=所以给定区间<0，）f′(x><08/8所以f(x>在<0，）上单调递减所以f(x>

6、>=0x<0，）即x<在<0，）上恒成立又0<<所以=x-去探索。一、构造几何中的函数对于几何中的最值问题，很多情况下都是构造函数法，把动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。Zzz6ZB2Ltk例5、如右图，已知在ABC中，C=90，PA8/8平面ABC，AEPB交PB于E，AFPC于F，AP=AB=2，AEF=，当变化时，求三棱锥dvzfvkwMI1P－AEF体积的最大值。解：因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC。又因为BCAC，所以BC平面PAC。而AF平面PAC，所

7、以BCAF。又因为AFPC，，所以AF平面PBC。而EF平面PBC，所以AFEF.所以EF是AE在平面PBC内的射影。因为AEPB，所以EFPB，所以PE平面AEF。在RtPAB中，因为AP=AB=2，AEPB，所以PE=，AE=，AF=sin，EF=cos。因为，所以所以，评：的变化是由AC与BC的变化引起的，要求三棱锥P－AEF的体积，则需找到三棱锥P－AEF8/8的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。rqyn14ZNXI例6、已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足=2，点P在线段AB上，且

8、2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点<