构造函数在解题中的应用(改3)

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1、构造函数在解题中的应用山东省定陶县第一中学谢于民274100函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地们，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。下面我们就举例说明构造函数的方法在解题中的应用。一、构造方程中的函数函数与方程有着密切的关系，对于条件中的方程若能巧妙构造出函数利用函数性质解题，则是一种创造性思维活

2、动，往往可以使问题化难为易，避繁就简。例1．设x、y∈[-,],且求cos(x+2y)的值。②①解：由①2a=x+sinx由②2a=(-2y)+sin(-2y)8故构造函数f(x)=x+sinx则f(x)=f(-2y)因为f′(x)=3x+cosx>0所以f(x)在[-,]上是增函数由f(x)=f(-2y)得x=-2y即x+2y=0所以cos(x+2y)=1评：通过变换题设中给出的的方程组，可构造函数f(x)=x+sinx，然后转化为同一函数的两个函数值相等，再利用函数的单调性得出两自变量相等，进而得解。例2.已知分别满足·lg=1004,·10=1004则等于（）AB10

3、04CD2008解：令f(x)=10f(x)=f(x)=由·lg=1004得lg=所以方程·lg=1004的根即为函数f(x)=与函数f(x)=的图象交点A的横坐标，故可设A(,)同理，方程·10=1004的根即为函数f(x)=10与f(x)=的图象交点B的横坐标可设B（，）8因为f(x)=图象关于y=x对称f(x)=10与f(x)=lgx互为反函数图象关于y=x对称所以A、B关于y=x对称所以=所以=1004故选B评：由已知方程的特点，构造函数f(x)=x、f(x)=、f(x)=10，把方程的根看作两函数图象交点的横坐标，利用三函数图象的对称性得出交点的对称性而得解。一、

4、构造不等式中的函数不等式的证明是高中数学中的一个常见问题，在各类考试中经常出现，许多学生往往感到有些困难，找不到思路，有些问题如果构造辅助函数利用函数性质来证明不等式，将思路简捷，而且有一定的方法和规律。例3.（2011辽宁高考）函数f(x)的定义域为R,，f(-1)=2对任意xR，f′(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为（）A(-1,1)B(-1,+)C(-,-1)D(-,+)解：令g(x)=f(x)-2x-4则g(-1)=f(-1)-2·(-1)-4=0又g′(x)=f′(x)-2>0所以g(x)在(-,+)上是增函数8所以原不等式可化为g(x)>g(-1)所以x>

5、-1故选B评：f(x)解析式不具体，通过构造新的函数，借助函数的单调性，由函数值的大小转化为所求自变量x的取值集合。例4已知数列其中==求证：<证明：因为==所以==令f(x)=x-则f′(x)=1-cosx令f′(x)=0得cosx=所以给定区间（0，）f′(x)<0所以f(x)在（0，）上单调递减所以f(x)

6、如右图，已知在ABC中，C=90，PA平面ABC，AEPB交PB于E，AFPC于F，AP=AB=2，AEF=，当变化时，求三棱锥P－AEF体积的最大值。解：因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC。又因为BCAC，8所以BC平面PAC。而AF平面PAC，所以BCAF。又因为AFPC，，所以AF平面PBC。而EF平面PBC，所以AFEF.所以EF是AE在平面PBC内的射影。因为AEPB，所以EFPB，所以PE平面AEF。在RtPAB中，因为AP=AB=2，AEPB，所以PE=，AE=，AF=sin，EF=cos。因为，所以所以，评：的变化是由AC与BC的变化引起的，要

7、求三棱锥P－AEF的体积，则需找到三棱锥P－AEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。例6、已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足=2，点P在线段AB上，且（t是不为零的常数）。（1）求点P的轨迹方程C；（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q（，3），求QMN面积S的最大值。8解：8评：上例抓住了双曲线方程和椭圆方程中两个变量的联系，将目标函数构造成二元目标函数的表达式，由此求解最值，也使得运算过程更为简洁。构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也