构造法在不等式解题中的应用

《构造法在不等式解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、构造法在不等式解题中的应用：构造法是一种创造性的解题方法，它是根据题设或结论所具有的特征、性质，构造出满足题设或结论的数学模型，借助于该模型来解决数学问题。它常常要伴随观察、分析、综合、联想、猜想等思维活动而进行。构造法的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一。文章试图通过一些例题说明构造法在不等式解题中的这种重要作用。　　关键词：联想；构造；直观性；创造性　　：G632：A：1002-7661（2011）09-032-02　　　　构造法是数学解题中富有创造性的思维方法，

2、它改变常规的思维方向，换一个角度去思考，通过分析命题，构造一些新的模型如方程、函数、图形等，使命题中原来隐晦不清的关系和性质，在新的构造中清楚地展现出来。它不仅可以拓宽思路，提高解决问题的能力，而且富有巧妙、新颖、独特的功效。本文试图通过一些例题说明构造法在不等式解题中的重要作用。　　一、构造函数　　函数是数学中一种重要的知识，常见函数的单调性、奇偶性、周期性、极值与最值等性质容易把握，所以在解题中若能构造函数，利用函数的性质，将会给我们的解题带来很大的方便。　　例1若，且，则　　分析：由已知条件可知，只需证明小于即可.故构造函数，利用其单调性求解。　　证明：

3、令，又，在上单调递增，　　所以故　　点评：不等式证明是中学数学的重要内容，它难度大，技巧强，让很多同学感到无比棘手。对于某些不等式的证明问题，我们可以根据题目的结构特点，巧妙地构造一个函数，从而站在函数的角度，研究这个函数的性质，达到解决问题的目的。　　二、构造方程　　有些不等式的证明问题可以从结论考虑，沟通条件和结论的关系，构造出与结论有关的方程，以便利用方程理论迅速解　　决问题，得到巧妙简捷的解答。　　例2已知ac=b2，且abc=3，求证：-3≤b≤1.　　分析：从条件ac=b2与abc=3，联想到一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），于是构造一元二

4、次方程x2(b-3)xb2=0来解决问题。　　证明：由abc=3得ac=3-b，又因为ac=b2，所以a、c分别是方程x2(b-3)xb2=0的两根.由△=(b-3)2-4b2≥0，有-3≤b≤1，本题得证。　　点评：每个问题都有自己深刻的内涵，结构上也都有各自的特点，在解决问题时若能深入地了解它的本质，对我们解决问题大有益处。　　三、构造向量　　一些难度大、技巧强、解法活的不等式问题，运用平面向量这一新型的数学工具，能化繁为简、化难为易、达到事半功倍的效果。　　例3设且恒成立，则的最大值为多少？　　解：构造向量：，.　　由，得≥(11)2=4，　　即.当且仅

5、当与共线即a-b=b-c，亦即时，等号成立.所以的最大值是4.　　点评：巧用构造法，是通过建立和构造模型创造性地解题，是不同于常规解法的创造性思维。　　四、构造几何模型　　数与形是数学学习中的两个方面，构造图形以形助数，是我们数学学习中的一种重要手段。某些不等式问题，可与平面几何、立体几何、解析几何的直观模型密切联系，从而利用平面几何、立体几何、解析几何的有关知识给出问题的简捷答案。　　例4解不等式.分析：对于这类题目的一般解法是分区间求解，这是比较繁杂的。观察本题条件可构造双曲线，求解更简捷。　　解：设.则，的中点为.又设点.当的值满足不等式条件时，点在双曲

6、线的内部，所以，即是不等式的解。　　点评：构造几何图形，就是将题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种关系得以在图中表现出来，然后借助几何的直观寻求问题的解答，或借助几何知识对问题进行推证。数学中很多公式就是一个模型，如两点之间的距离公式，直线的斜率公式，定比分点坐标公式等等。只要我们仔细观察，合理构建，一定能找到合适的解题途径。　　五、构造数列　　对于与正整数有关的不等式问题常用数学归纳法来证明，这里也可以用构造数列的方法来解决。　　例5设，求证：。　　分析：这是一个关于正整数n的不等式，只须证明当时，即可。故可构造数列：，因为，只要能证明此数列为递增数列

7、。　　证明：设，，　　故，此数列为递增数列。所以，，即。　　点评：构造法在解题中的应用千变万化，没有固定的模式可以套用，它需要经过认真的观察，深入的思考分析、迁移联想，才能合理地、巧妙地构造出与问题相关的模型。　　从上面的例子，我们不难看出，构造法解题有着令人意想不到的功效。构造法重在“构造”，除了本文所列举的构造函数、方程、图形、向量外，还可以通过构造等价命题、构造反例等来解决问题。构造法，它是对基本知识和基本技能的综合运用，它能加深我们对知识的理解，培养我们思维的灵活性，提高我们分析问题、解决问题的创新能力；同时，对我们学习兴趣的提高和钻研独创精神的发挥有

8、着不可估量的作用。　　构造法是一种创造