第8章 多元函数微分学

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1、第八章多元函数微分法一、基本内容（一）元函数的基本概念1．基本概念（1）邻域（2）内点（3）边界点（4）开集（5）区域2．二元函数的极限与连续（二）偏导数和全微分1．偏导数2．全微分3．全微分在近似计算中的应用（三）复合函数的微分法1．复合函数求导法则2．一阶微分形式不变性（四）隐函数的微分法1．一个方程的情形2，方程组情形（五）微分法在几何上的应用1．空间曲线的切线与法平面2．曲面的切平面与法线3．微分的几何意义（六）方向导数和梯度1．方向导数2．梯度（七）多元函数的极值1．多元函数的极值2．条件极值练习题8.1.确定下列函数的定义域(1)(2)(3)(4)解答：(1)得（2），时有定义.即

2、时时包含锥面在内的圆锥（3）得，即上半平面（4）得旋转抛物面的内部（不含表面）o8.2.设函数,求解答：8.3.设求，解答：8.4.设,求解答：8.5.设试讨论在点的连续性，可微性。解答：（1）（）（2）不存在综上（1），（2）在点连续，但不可微8.6.求下列二重极限(1)(2)(3)(4)解答：（1）（2）（3）此极限随K改变而改变，因此极限不存在。（4）8.7求下列函数的一阶偏导数和全微分（1），，解答：（2），解答：,8.8求下列方程所确定函数的全微分（1）（2）解答：(1)令则，，(2)令则8.9函数由方程所确定，求。解答：方程两端同时对求偏导，得则8.10设,求。解答：由确定了两个函

3、数方程组*对求导得解得8.11设函数由方程确定。证明。证明：方程两侧分别同时对求偏导得故得证8.12设具有二阶连续偏导数，求。解答：8.13设求。解答：确定二个函数上二等式两端同时对求导由法则8.14方程组确定了隐函数，当，，时，求解答：方程组对x求导得将代入上式得又8.15求曲面上平行于平面的切平面方程。解答：设满足条件所求切平面与曲面的切点为则①又则②由①②解得故所求切平面方程为：或化简8.16证明曲面和在点处相切。（即有公共切面）。解答：在点的切平面的法向量8.17设具有连续的偏导数，且对任意实数有(是自然数)，试证：曲面上任意一点的切平面相交于一定点。（设在任意点处）。证明：由令两边同

4、时对求导令为曲面上任一点，则且=曲面在点的切平面为整理得即此平面必过原点（0，0，0），故得证。8.18求空间曲线，在点处的切线和法平面方程。解答：设，于是，它们在点的值为由得曲线在（1，1，1）的切线方程。即曲线在（1，1，1）的法平面方程为即8.19求函数在点沿方向的方向导数。解答：8.20求函数在点沿此点向径方向的方向导数。解答：==8.21求函数在处与轴的正向成135°角的方向的方向导数。解答：在M(1,2)处的值　　　　　　　8.22求函数的极值。解答：求得稳定点在点(1,2)处不是极值点在点(2,1)处极小值在点(-1,-2)处不是极值点在点(-2,-1)处是极大值点z极小(2,1

5、)=-28,z极大(-2,-1)=288.23求函数在的条件下的极值。解答：令则得因为所以极值8.24求函数在条件下的极值。解答：设则解得且等号只在时才成立,故是极大值.测验题(八—1)一、求下列函数的定义域（1）u=arcsin(2)z=解：(2)，二、求下列二重极限(1)(2)解：(1)(2)三、证明不存在证明：此极限值随的改变而不同，故得证.四、求下列函数的指定的偏导数或全微分1、设u=，其中具有=阶偏导数，g为可导函数。求和解：1、设方程确定了隐函数求解：等式两端同时对x求偏导则2、设而由方程组确定求解：方程组确定了一组函数方程组对x求导则3、设，（），求解：五、求函数在点是否可微？为

6、什么？解：六、求在点沿曲线在该点法线（指向原点）方向的方向导数。解：,曲线在点切线斜率为法线斜率为由法线指向原点方向得，故七、证明锥面的所有切平面都通过锥面的顶点解：设锥面在点的切平面为又因为满足此平面恒过点八、求在闭域上的最大值与最小值。解：首先考虑函数在区域上的稳定点求得唯一稳定点（1，2），且再考虑函数在边界上的情况在边界上，此时，又,在边界上，此时又在边界上，此时经比较,测验题（八—2）一、确定的定义域，并证明此函数在其定义域上是连续的。解：==当故此函数在定义域上是连续的.二、1.设其中可微，有偏导数，求解：2.设其中可微，此方程确定一函数,求。解：等式分别对x,y求导得,3．设有连

7、续二阶偏导，二阶可导求解三、设确定了隐函数当时，求解：方程组对x求导解得则当时，有四、在曲线上求一点，使曲线在此点处的切线平行于平面解：设曲线上任一点对应的切向量为平面的法向量为由曲线平行于平面得故从而故即为所求点。五、在曲面上求一点，使这点的法线垂直于平面,并求此法线方程.解：设曲面上任一点对应的法向量为平面的法向量为由法线垂直于平面得故曲面上点的法线垂直于平面且法线方程为（x+3）+3（y+1