第7章 多元函数微分学

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1、《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案§7.1二元函数的概念二元函数的极限和连续性教学目的：了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。教学重点：求二元函数的极限，掌握二元函数极限与连续的关系。1、二元函数的定义 定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。例1设（x2+y2≠0），求证。因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时，函数都无限接近于A。第26页共26页《高等数学》

2、精品课程—《微积分》部分—电子教案定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D。如果则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。性质３　（零点定理）性质４（有界性定理）　例2设解因此第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分

3、》部分—电子教案§7.2偏导数教学目的：了解偏导数的概念、几何意义以及与连续的关系。掌握高阶偏导数的求法。教学重点：二阶和高阶偏导数的计算，利用图形理解偏导数的几何意义，偏导数存在和连续成立的条件。定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作或fx（x0，y0）。对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂

4、时看作常量而对y求导。例1求z=x2sin2y的偏导数。解例2解二、偏导数的几何意义第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案三、偏导数与连续的关系二元函数中，偏导数存在，不一定连续例如四、高阶偏导数第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案例3解例4解第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案定理7.1如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。　例5解所以§7.3全微分及其在近似计

5、算中的应用教学目的：理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。教学重点：全微分的计算和它在近似计算中的应用。一、全微分的概念定义可表示为第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案定理7.2证明时有从而有即定理7.3(可微的必要条件）证明第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案所以即偏导数存在只是可微的必要条件，而不是充分条件。例如定理7.4第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案例1解因为例2解因此

6、二、全微分在近似计算中的应用第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案即例3解则令于是而所以§7.4多元函数和隐函数的求导法则教学目的：掌握多元复合函数的求导法则，了解隐函数的概念，存在定理并计算多元函数的隐函数。教学重点：求多元复合函数偏导数时，理清函数、中间变量和自变量的关系。一、多元复合函数求导法则定理7.5第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案证明所以有完全类似地可以证明第二个等式。第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案求复合

7、函数的偏导数时要注意两点（1）搞清函数的复合关系；（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例1解例2解二、隐函数的偏导数求法第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案同理可证定理7.6（隐函数存在定理）并有例3解第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案例4解应用上面公式，得§7.5二元函数偏导数的应用教学目的：理解多元函数极值与条件极值的概念，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。教学重点：二元函数偏导数在几何上的具体

8、应用，条件极值的拉格朗日乘数法和极大极小值的判别。一、在几何上的应用1.空间曲线的切线与法平面第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案即例1解于是，切线方程为第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案法平面方程为2.曲面的切平面方程与法线方程为切平面的方程为例2解第26页共26页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案或法线方程为二、二元函数极值的求法定理7.7(极值存在必要条件)定理7.8（极值存在充分条