【基础练习】《垂直关系的性质》（数学北师大必修二）

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1、《垂直关系的性质》基础练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1.在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2.若三个平面，之间有，，则与（）A．垂直B．平行C．斜交D．以上三种可能都有3.下列说法中正确的是（）①过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直．A．①②③B．①②③④C．②③D．②③④4.

2、已知平面、、，则下列命题中正确的是（）A．，，则B．，，则C．，，，则a⊥bD．，，a⊥b，则b⊥5.已知平面与平面相交，直线m⊥，则（）A．内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．内不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直C．内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．内必存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直6.设、、是三个互不重合的平面，、是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）．A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE

3、垂直于（）A．ACB．BDC．A1DD．A1D1二、填空题8.平面四边形，为平面外一点，则、、、中最多有个直角三角形．9.平面平面，且，则和的位置关系是．10.PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于．三、简答题11.已知PA⊥平面ABC，二面角A—PB—C是直二面角．求证：AB⊥BC．12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．

4、13.如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点。（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1.14.如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PC

5、D；⑶求证：EF∥平面PCD.解析和答案一、选择题1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A解:过直线a外一点P可作一平面与直线a垂直，平面内所有过P的直线均与垂直，从而④不正确．4．【答案】B5．【答案】C解:若内存在直线n与m平行，则知，从而，但与相交却不一定垂直，又设，由知m⊥a，从而内必有直线与m垂直．6．【答案】D7．【答案】B解:BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．二、填空题8．【答案】4解:连接，当这四条线段中有一条垂直于平面，且平面四边形是矩形时，这4个三角形都是直角三角形．9．【答案】解:设，

6、，，，又，．10．【答案】5解:∵PA＝PB＝PC，∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．又△ABC为直角三角形，∴O为斜边BA的中点．在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴PO＝＝5.三、简答题11.证明：二面角A—PB—C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．在平面PAB内，过A作AD⊥PB，D为垂足（如图），则AD⊥平面CPB，又BC平面CPB，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AD=A，∴BC⊥平面PAB，又∵AB平面PAB，∴AB⊥BC．12．证明：（

7、1）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE．13.证明:

8、（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC。∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD平面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1.∵DC1平面B