解斜三角形应用举例(II)

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1、怎样计算呢？测太阳高度《周髀算经》是我国产生于公元前6、7世纪的一部经典算书。它主要记载了有关测量的方法。当时的陈子(周公后人)被人誉为“世界测量学之祖”，《周髀算经》中记载了陈子测太阳高度的方法，大意是：夏至时，用一长为h的竿子，在城南测得太阳的影子长为a，在相距d的城北测得太阳的影子长为b(b>a)，就可计算出太阳的高度。1夏至时，用一长为h的竿子，在城南测得太阳的影子长为a，在相距d的城北测得太阳的影子长为b(b>a)，就可计算出太阳的高度。(太阳)OABxhabdCDEF如图，设AB为x，则太阳高度为x+h,且△A

2、CD∽△DEF．则由上式可求得x，从而可测得太阳高度.2解三角形的知识在测量、航海、几何以及物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.你知道吗?3高中数学必修五§1.2解斜三角形应用举例(1)4例1自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95

3、m，AB与水平线之间的夹角为620,AC长为1.40m，计算BC的长(保留三个有效数字)．5分析：(1)什么是最大仰角？车厢立起的最大角度.(2)你能把问题化归为数学题吗？已知△ABC的两边AB=1.95m，AC=1.40m，夹角A=6620，求BC．(3)怎样求BC？用余弦定理.CAB601.401.95答:略.6解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：

4、利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．解后回顾：7解后回顾：解决实际问题的思路：实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解8例2如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到1mm)看看

5、动画9分析:活塞运动的距离即A0A.它随着CB的运动而变化.进一步考虑：A0A随CB的运动的变化规律是什么呢？即有什么等量关系?AB+BC=A0B0+B0C而A0A=A0C－AC=425－AC.A0AB0CB80——问题转化为求AC的长.=340+85=425=A0C.再看看动画10而AC又在△ABC中，要求BC，只须解△ABC即可.到这儿，问题最终转化为一个三角形问题.如何解△ABC呢？我们知道，解一个三角形必须且只须三个条件，且三个条件中至少有一条边；解三角形的依据是正、余弦定理.A0AB0CB80——完成了建模！

6、11A0AB0CB80由条件可知，不能直接求AC，应先求A:怎样求AC?用正弦定理还是余弦定理?都行但正弦定理计算较方便，用正弦定理：12例2也可用余弦定理，通过解二次方程求得AC.解后回顾：通过以上两题，大家要掌握：1、解实际应用问题的一般方法；2、正、余弦定理在解三角形中的应用.注意：13例3我舰在敌岛A南偏西50相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10的方向以10nmile/h的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ABC5010解:故我舰行的方向为北偏东(50

7、arcsin).思考：本例能用向量的方法求解吗？14解斜三角形应用题常见的几种情况:小结：1．实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解.3．实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.15