解斜三角形的应用举例

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1、解三角形的应用举例我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦……一、名称术语1.坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫坡角.坡面水平面如图角A是斜坡AB的坡角.坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度,用i表示.如图所示：坡度i=h/L.根据定义可知：坡度是坡角的正切，即i=tanA.ABChL2.俯角、仰角如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平线的上方时叫仰角，目标视线在水平线

2、的下方时叫俯角.铅垂线视线视线水平线仰角俯角3.方位角：以指北方向为始边，顺时针方向旋转到目标方向线的所形成的叫方位角．如图所示A的方位角为，B的方位角为.方位角的范围为.AB北4.象限角以观察者位置为原点，东、南、西、北四个方向把平面分成四个象限，以正北或正南方向为始边旋转到目标方向线的锐角称为象限角．如右图所示，称A在O的北偏东α处，B在Ο的南偏东β处．东南西北观察者OABαβ5.基线在测量中，根据测量需要适当的确定的线段叫做基线。基线越长，测量精度越高！1、理清题意，弄清已知和所求；2、根据题意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学

3、问题，即将问题归纳到一个或几个三角形中，并写出已知所求；4、正确运用正、余弦定理进行解答．二、解三角形的一般步骤：例1自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角为60◦，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6◦20’，AC长为1.40m,计算BC的长（保留三位有效数字）.A60◦CB6◦20’AC单击图象动画演示A60◦CB6◦20’解：∠CAB=60◦+6◦20’=66◦20’BC2=AB2+AC2–2AB·ACcosA≈3.571∴BC≈1.89(m).答：顶

4、杆BC约长1.89m.已知ABC中，AB=1.95,AC=1.40,∠CAB=60◦+6◦20’=66◦20’,求BC的长.例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离）（精确到1mm）单击图象动画演示已知△ABC中，BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，求AC．解：（如图）在△ABC中，由

5、正弦定理可得：因为BC＜AB，所以A为锐角，A＝14°15′∴B＝180°－（A＋C）＝85°45′又由正弦定理：答：活塞移动的距离为81mm．解：如图，在△ABC中由余弦定理得：A例3.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB∴我舰的追击速度为14nmile/h又在△ABC中由正弦定理得：故我舰行的方向为北偏东已知从烟囱底部在同一水平线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是α=35°12’、β=49°28’、CD间

6、的距离是11.12m,测角仪高1.52m.求烟囱的高.解：∠C1BD1=β–α=14°16’,BD1=≈26.01.C1D1sinαsin∠C1BD1A1B=BD1sinβ≈19.77,AB=A1B+AA1≈21.29(m).答：烟囱的高约为21.29m.练习2.从高为h的气球上测铁桥长，测得桥头B的俯角是α，桥头C的俯角是β，求该桥长.解法一：hsinαAB=,hsinβAC=.解法二：BC=HC–HB=h·cotβ–h·cotα.HαβBC2=AB2+AC2–2AB·ACcos(α–β).(BC==)ABsin(α–β)sinβhsi

7、n(α–β)sinβ3.当倾斜角等于12◦30’的山坡上竖立一根旗杆.当太阳的仰角是37◦40’时，旗杆在山坡上的影子的长是31.2m,求旗杆的高.12◦30’37◦40’解：在三角形ABC中，∵∠ACB=37◦40’∠B=90◦,∴∠A=52◦20’.∵∠DCB=12◦30’又∵CD=31.2,∴∠ACD=25◦10’∴AD==16.8.CD·sin∠ACDsinA答：旗杆的高为16.8m.ADCB解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素．2、要明确题目中一些名词、术语的意义．如视角，仰角，俯角，方位

8、角等等．3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决．三、小结谢谢各位同学配合！再见