一类带有扩散和B-D反应项的病毒模型的稳定性分析

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1、第31卷第1期工程数学学报v01．31N。．12014年02月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb．2014doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2014．01．006文章编号：1005—3085(2014)01—0057—10一类带有扩散和B—D反应项的病毒模型的稳定性分析木饥==7杨文彬，李艳玲t，王珊珊U一—一(陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062)一，摘要：本文研究了齐次Neumann边界条件下带有扩散和B—D反应项病毒模型的平衡解渐近，稳定性．利用弱耦合抛物不等式组的最大值

2、原理，给出了模型解的先验估计．利用赫尔维茨(Hurwitz)定理，分析了平衡解的局部渐近稳定性．结果表明：当基本再生数大于1时，地方病平衡态局部渐近稳定；当基本再生数小于1时，无病平衡态局部渐>近稳定．同时，利用构造上下解及其单调迭代序列的方法证明了无病平衡解的全局渐近稳定性，该结果表明：当控制细胞生成率或者感染率或者感染细胞裂解率充分小时，无病平衡解的全局渐近稳定．关键词：反应一扩散；局部渐近稳定性；全局渐近稳定性分类号：AMS(2000135K57；34D05中图分类号：O175．26文献标识码：A1引言近些年来，随着病毒性疾病的大规模爆发，例如SARS，

3、甲型流感及AIDS等等，病毒性疾病已经很大程度上影响到我们日常的工作和生活．现如今研究病毒的反应机制己成为十分热门的课题，科学家们通过建立模型来模拟病毒的反应机制和药物治疗机制，并且取得许多成果，详细可通过文献[1_4]来了解．在研究病毒感染过程时，一般采取如下模型【5，6](1)叫(0)=W0>0其中u()，()，w(t)分别表示未感染的CD4+T细胞密度，感染的CD4+T细胞密度及游离病毒密度．在大部分的病毒模型中，我们总是假定空间分布是均匀的并且游离病毒与未感染细胞之间的感染关系是线性的，然而事实上这种感染关系不总是线性的，并且它们在空间上的分布也不总是

4、均匀的．因此，我们要考虑空间扩散性及非线性的感染关收稿日期：2012—05—11．作者简介：杨文彬(1985年12月生)，男，博士．研究方向：应用偏微分方程基金项目：国家自然科学基金(11271236)；中央高校基本科研业务费专项资金(GK201302025)．十通讯作者：李艳玲E—mail：yanlingl@snnu．edu．CD58工程数学学报第31卷系，这样才能更加充分的模拟病毒的感染过程．于是我们需要改进模型，引入扩散项和新的反应函数．文献[7-9]引入Beddington—DeAngelis反应函数(甓)来描述这种非线性感染关系．B—D反应函数最早是

5、由Beddington[]和DeAngelis等提出的，它很类似于著名的HollingII反应函数[12]，只是分母上多了一项6叫，这一项是用来表示病毒间的相互干扰．当a>0，b=0时，B—D反应函数就成为了HollingII型反应函数；当a=0，b>0时，B—D反应函数就变成了一个饱和反应项f13]．在此，我们假设a>b>0．本章主要讨论如下一类带有扩散项和B—D反应项的病毒模型札t—dAu=7一，“一，∈Q，t>0，一day：一pv，∈Q，t>0，Wt—dAw：kv一8W，∈，t>0，===0，z∈aQ，t>0，u(x，0)=UOx)>0，v(x，0)=V

6、Ox)>0，w(x，0)=wo(x)>0，z∈Q，其中Q∈RⅣ是有界光滑区域，且边界aQ充分光滑，是边界上的单位外法向量，d为扩散系数，a，b表示Beddington—DeAngelis感染率．7，，，a，b，P，k，s，d都是正常数．通过计算可知，当Rn=：——丝<1aps十apse／时，模型f2)存在唯一平衡解=(j0j0)；当风Rn：=——二生一>lps十apse／时，模型(2)还存在一个正常数解其中jc+ps一—k~+ba—k-aps‘===p(k／3+bak叫=丽(l、一去)／l2正解的先验估计本节首先给出文献[14】中关于弱耦合抛物不等式组的最大值

7、原理．第1期杨文彬，等：一类带有扩散和B—D反应项的病毒模型的稳定性分析59引理1令t∈c(一uX[0，)nC2,1(QX【0，】)，i：1，2，3，并且满足一厂塑其中b玎∈c(一u×【0，0】)，如果对于≠J，，J=1，2，3，有60，则在×[0，]上有r“t(，t)0，而且在QX【0，上有i>0或者Ui三0．定理1>一设(u(。，tl)，v(x，t)，w(x，t))∈(×[0，T])nC，(Q×(0，))]是模型(2)的解，那么模型(2)的解都是正解，并且对于任意的E>0，当Too时，，，，毒3一。lll<。<托0证明n设(钆，，W)是系统(2)在Q×[0

8、，T)上的任意解，那么对于任意丁∈(0