2012届惠州市四模理科数学试题及答案

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惠州市2012届高三模拟考试数学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合，，若，则实数的值为（）A．或B．C．或D．2．设为实数，若复数，则（）A．B．C．D．3．“”是“”的（）条件第16页共16页 A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要4．公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项，，则等于（）A．18B．24C．60D．905．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）1A．10B．20C．30D．406．函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．　　B．　C．　　D．7．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）A．B．　C．　D．8．定义函数，若存在常数C，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的均值为C．已知，则函数上的均值为（）第16页共16页 A．B．C．D．10二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）开始输出结束是否（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是　　　　　人．10．右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.11．则的值为.12．由曲线,围成的封闭图形面积为.13．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14．（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）上一点到点、　距离之和为．第16页共16页 第15题图15．（几何证明选讲选做题）如图，已知直角三角形中，，，，以为直径作圆交于，则_______________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设向量，，．（１）若，求的值；（２）设，求函数的值域．17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，．（１）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（２）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）第16页共16页 已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（１）求四棱锥P－ABCD的体积；（２）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；（３）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.19．（本小题满分14分）已知数列满足：且．（１）求，，，的值及数列的通项公式；（２）设，求数列的前项和．20．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为第16页共16页 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（１）求椭圆的方程；（２）已知动直线与椭圆相交于、两点.①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点，求证：为定值.21．（本小题满分14分）已知函数（１）试判断函数的单调性，并说明理由；（２）若恒成立，求实数的取值范围；（３）求证：.惠州市2012届高三模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案ADACBDBC1．【解析】由可知或,故选A．第16页共16页 2．【解析】，因此.故选D．3．【解析】因为或，所以“”能推出“”，但“”不能推出“”，故选A．4．【解析】由得得,再由得则,所以．故选C5．【解析】安排方法可分为3+2及2+3两类，则共有种分法，故选B．6．【解析】由图像知A=1,,,由得，则图像向右平移个单位后得到的图像解析式为，故选D．7．【解析】设，由，得，由解得.故选B．8．【解析】，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100．令,当时，，由此得故选C．二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15第16页共16页 题是选做题，考生只选做一题．9．76010．2711．212．.13．.14．815．9．【解析】．10．【解析】答案：27.由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)*1=1，n=n+1=2，依次循环s=(1+2)*2=6，n=3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s=(6+3)*3=27，n=4，此刻输出s=27.11．【解析】．12．【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为．13．【解析】按二项式公式展开得，函数有4个零点，等价于函数与，再利用数形结合可得．14．【解析】曲线表示的椭圆标准方程为，可知点、　为椭圆的焦点，故．15．【解析】为直径所对的圆周角，则，在第16页共16页 中，，由等面积法有，故得．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分分）解：（1）由得…………3分整理得显然∴…………4分∵，∴…………5分（2）∴＝＝＝…………8分∵∴…………9分∴…………10分∴，即函数的值域为.…………12分17．（本小题满分12分）解：（1）六个函数中是奇函数的有，，，由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．……………2分第16页共16页 记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知…………………4分（2）可取1,2,3,4……………………………………………5分,,………9分故的分布列为1234……………10分答：的数学期望为……………………………12分18．（本小题满分14分）解：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.………………………………………………1分第16页共16页 ∴，即四棱锥P－ABCD的体积为.………3分(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………………………………………………4分证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.………………………5分∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.………………………6分又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.………………………7分∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………………………8分(3)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．……………………………………………10分在Rt△ADE中，DF＝＝＝，∴BF＝.…………………………11分又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝第16页共16页 ，…………………………………………12分∴∠DFB＝，………………………………………………………13分即二面角D－AE－B的大小为.………………………………………………………14分解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，………………………………………9分从而＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，由，取由，取…………11分设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，…………13分∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为第16页共16页 .…………14分注：若取算出可酌情给分。19．（本小题满分14分）解：（１）经计算，，，．…………………………3分当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，；…………………………5分当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，．…………………………7分因此，数列的通项公式为．…………………8分（２），………………………9分①②…………10分①、②两式相减，第16页共16页 得．……………12分．………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）因为满足，……2分，解得，则椭圆方程为……4分（2）①将代入中得……6分，……7分因为中点的横坐标为，所以，解得第16页共16页 …………9分②由（1）知，所以……………11分…12分…14分21．（本小题满分14分）解：（1）  故在递减…3分  （2） 记………5分   再令   在上递增。 ，从而 故在上也单调递增………8分第16页共16页 （3）方法1： 由（2）知：恒成立，即  令 则 ………10分  ，， ……12分   叠加得：  ……14分方法2：用数学归纳法证明（略）。第16页共16页