随机变量的独立性1

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1、§3.2随机变量的独立性一、二维随机变量的独立性定义设(X,Y)是二维随机变量,若对任意实数对(x,y)均有随机事件A与B相互独立，若P(AB)=P(A)P(B)成立，称X与Y相互独立.意义对任意实数对(x,y)，随机事件{X≤x}、{Y≤y}都相互独立.例3.2.1等价条件:1.X与Y相互独立对任意实数(x,y)均成立.2.(离散型)X与Y相互独立对所有(xi,yj)均成立.注若否定结论,只需找到一对(i,j)使pij≠pi·p·j或pij=pi·p·j3.(连续型)X与Y相互独立在平面上除去“面积”为0的集合外成立.例3.2.2例3.

2、2.3例3.2.4练习二.多维随机变量的独立性定义设n维随机变量（X1,X2,…Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn)，若对任意实数x1,x2,…,xn均有称X1,X2,…Xn相互独立.注对任意实数向量(x1,x2,…,xn),n个随机事件Ak={Xk≤xk},k=1,2,…,n，都相互独立.思考随机事件A1，A2，…，An相互独立，应有以下P(Ai1Ai2…Ais）=P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais）2n-n-1个等式同时成立，缺一不可.如何理解？定理3.2.1若n维随机变量（X1,X2,…，Xn)相互独立，则任意k个随机

3、变量(2kn)也相互独立.注随机变量相互独立则一定两两独立，但逆不真.例3.2.5定理3.2.1若n维随机变量（X1,X2,…，Xn)相互独立，则2).随机变量g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也相互独立.3)m维随机向量(X1,X2,…,Xm)与n维随机向量(Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互独立.4)随机变量h(X1,X2,…,Xm)与g(Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互独立.如3维随机变量X1,X2,X3相互独立，则X12,X22,X32也相互独立.X1+X2与X3也相互独立.sinX1与X3也相互独立.X1+X

4、2与X1－X2不一定相互独立.随机变量的独立性本质上是随机事件的独立性例3.2.1设随机变量X的概率密度为问X与︱X︱是否相互独立.分析1)直观判断X与︱X︱是否相互独立？对所有实数对(a,b)均成立.2)判定X与︱X︱相互独立，则需验证3)随机事件{X≤a}与{︱X︱≤a}有下述关系解对于任意给定的实数a>0有即X与︱X︱不相互独立.例3.2.3已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为问X,Y是否相互独立？解10xy(1,1)G例3.2.4设随机变量X,Y相互独立,X~U(0,a),Y~U(0,/2)且0

5、Y}解因为随机变量X,Y相互独立，则aπ/20xybx=bcosyD练习设随机变量X与Y相互独立,填出空白处的数值.11/61/8x21/8x1y3y2y1XY3/41/41/21/243/8例3.2.2设随机变量(X,Y)具有联合概率密度问:X、Y是否相互独立？分析f(x,y)在如图所示区域内不等于0,在其余区域均等于0。oxy11因为当x≤0或x≥1时,在整个积分路径上被积函数f(x,y)始终为0;因此y=x当0

6、x,y)=2≠fx(x)fy(y)=4x(1-y)因此,X与Y不相互独立.找出了一个面积不为0的区域例3.2.6将一枚均匀硬币独立地掷两次，引进随机事件如下令有但因即ξ1、ξ2、ξ3不相互独立.即ξ1与ξ2相互独立，同理可验证ξ1与ξ3，ξ2与ξ2也分别相互独立.