多维随机变量的独立性.ppt

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1、多维随机变量的独立性1两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立.两随机变量独立概念的引出问：若X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则能否得出X,Y相互独立？2一.随机变量相互独立的定义设(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数为F(x,y)若对任意的x,y都有:则称随机变量X和Y是相互独立的.二.当(X,Y)为离散型随机变量X和Y相互独立是的所有可能的取值3例1.设X,Y相互独立，它们的分布律分别为:求:(X,Y)的联合分布律.解:相互独立从而：4依次可得(X,Y)的联合分布律为:XY从此例可得出

2、：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知X,Y相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。5在一只口袋中装有3个黑球，两个白球，从该口袋中取球两次，每次任取一球。令问:1.每次取后不放回，X,Y是否相互独立？2.每次取后放回，X,Y是否相互独立？例2.6求:1.二维随机变量(X,Y)的概率分布2.(X,Y)关于X和Y的边缘概率分布3.判断X与Y是否相互独立例3.7三.当(X,Y)为连续型随机变量设(X,Y)服从正态分布，其边缘分布密度为：例4.问:X和Y相互独立的充分必要条件是什么

3、?8解:要则比较可知其充分必要条件是：9(1)联合概率密度及边缘概率密度(2)检验X和Y是否相互独立(3)(X,Y)的联合分布函数(4)例5.求:解:(1).设随机变量(X,Y)在矩形域:内服从均匀分布(X,Y)服从均匀分布由题意在区域内10在矩形上:所以，其联合概率密度为：11在其它域上:(2).所以得其边缘概率密度分别为：与相互独立12(3).视它为不可能事件1314故(X,Y)的联合分布函数为15(4).甲乙两人约定中午12时30分在某地会面。设甲在时间12:15到12:45之间到达某地是均匀分布；乙独立地到达，而且到达时间在12:

4、00到13:00之间也是均匀分布.试求：(1)先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.(2)甲先到的概率例6.16设X：甲到达时刻，Y：乙到达时刻若以12时为起点，以分为单位，依题意：X~U(15,45),Y~U(0,60)先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率甲先到的概率解:且有：所求为：P(

5、X-Y

6、5)及P(X

7、X-Y

8、5)=1/6=1/2P(XY)P(

9、X-Y

10、5)19随机变量独立性的概念不难推广

11、到两个以上r.v的情形.一般地，n个随机变量X1,…，Xn称为独立的，如果对一切x1,…,xn，有P(X1≤x1,…，Xn≤xn)=类似二维变量，不难写出其它几个关于独立性的等价定义。20四.个随机变量相互独立的概念定义1.则称是相互独立的。定义2.若对所有的有：若对所有的有：其中依次为随机变量和的分布函数。则称和是相互独立的。关于的边缘分布函数21若连续型随机向量（X1,…,Xn）的概率密度函数f(x1,…,xn)可表示为n个函数g1,…,gn之积，其中gi只依赖于xi，即f(x1,…,xn)=g1(x1)…gn(xn)则X1,…,Xn

12、相互独立，且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.关于独立性的三个结果：定理122若X1,…,Xn相互独立，而：Y1=g1(X1,…,Xm),Y2=g2(Xm+1,…,Xn)则Y1与Y2相互独立.定理2定理3和相互独立设则和相互独立。又若是连续函数，则：和相互独立。23