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1、第三章多维随机变量及其分布到目前为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.飞机的重心在空中的位置是但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.如:在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量.其处理思路及方法与一维情形相同,但形式较一维复杂;学习时应注意与一维情形的对照.设Ω为试验E的样本空间,若对Ω中的任一基本事件e,都有惟一确定的n个实数X1(e),…,Xn(e)与之对应,则叫(X1(e),…,Xn(e))由于从二维
2、推广到多维一般没有实质性的困难,定义:为n维随机变量,简记为(X1,…,Xn).我们重点讨论二维随机变量.二维随机变量一般用(X,Y)来表示.§1二维随机变量的联合分布与边缘分布一、X与Y的联合分布函数及边缘分布函数二维随机变量(X,Y)的分布函数为也叫X与Y的联合分布函数.几何表示:F(x,y)为随机点(X,Y)yx0.(x,y).(X,Y)落在xoy面中区域内的概率.X的分布函数(X,Y)的分布函数具有:等性质.在二维随机变量(X,Y)中,X的分布函数称为(X,Y)关于X的边缘分布函数,Y的分布函数称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数;由联
3、合分布函数可确定边缘分布函数,对此有:关于X的边缘分布函数为关于Y的边缘分布函数为进一步可定义n维随机变量(X1,…,Xn)的分布函数:及关于Xi(i=1,…,n)的边缘分布函数:二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律设(X,Y）为二维离散型随机变量，称为(X,Y)的分布律，或X与Y的联合分布律.X的分布律(X,Y)的分布律的性质:可列表表示:(1)非负性(2)归一性XYx1x2…xi…y1yj┇┇p11p21…pi1…p1jp2j…pij…┇┇┇……┇┇┇……在二维离散型随机变量(X,Y)中,称X的分布律为(X,Y)关于X的边缘分布律,
4、Y的分布律为(X,Y)关于Y的边缘分布律;由联合分布律可确定边缘分布律,对此有:关于X的边缘分布律为关于Y的边缘分布律为(X,Y)的分布律注意两个边缘分布正好是表中列和与行和P{Y=yj}┇┇P{X=xi}……1XYx1x2…xi…y1yj┇┇p11p21…pi1…p1jp2j…pij…┇┇┇……┇┇┇……三、二维连续型随机变量的概率密度与边缘概率密度对二维连续型随机变量(X,Y)有:f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,即:随机点(X,Y)落在区域内的概率X的概率密度fX(x)为f(x,y)在该区域上的积分.yx0.(x,y).(X,Y)或
5、称为X与Y的联合概率密度.f(x,y)为(X,Y)的概率密度,则(1)非负性(2)归一性概率密度的性质:(3)对xoy面上的任一区域G,(4)在f(x,y)的连续点上,在二维连续型随机变量(X,Y)中,X的概率密度称为(X,Y)关于X的边缘概率密度,Y的概率密度称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度;由联合概率密度可确定边缘概率密度,对此有:关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为因为解:例:设(X,Y)的分布函数为：试求(1)a、b、c,(2)(X,Y)的概率密度.(1)依据分布函数的性质可得:(2)故解:(1)由归一性可得:故例:设(X,
6、Y)的概率密度为：试求(1)k,(2)(3)边缘概率密度fX(x),fY(y).xy01作f(x,y)非零区域的图形,结合图形进行处理非常有用解:例:设(X,Y)的概率密度为：试求(2)xy01x+y=1xy01y=x最终的积分区域为f(x,y)的非零区域与区域的公共部分解:例:设(X,Y)的概率密度为：试求(3)边缘概率密度fX(x),fY(y).xy01xy四、两个常见的二维连续型随机变量的分布(一)均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积为A;若二维随机变量（X,Y）的概率密度为则称（X,Y）在G上服从均匀分布.例如:向平面上有界区域G上
7、任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.(二)二维正态分布若二维随机变量（X,Y）的概率密度为则称（X,Y）服从参数为其中均为常数,且的二维正态分布.记作(X,Y)~可以证明:二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.则若(X,Y)~注意:由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.§4随机变量的独立性P(AB)=P(A)P(B)事件A,B独立X与Y相互独立对任意的x,y有它表明:两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边
8、缘分布函数的乘积.用分布函数表示即:可由事件的独立性引入随机变量的独立性,它是概率论中的一个重要概念.定义:若对任意的x,y都有则叫随机变量X与Y相互独立.对二维离
