《多维随机变量》PPT课件.ppt

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1、第三章多维随机变量及其分布§1、二维随机变量引例E1:某个人群中任取一人，测量其身高X与体重Y，试验结果(X,Y);E2:射击一枪，观察弹着点(X,Y).一般，设E的样本空间S={e},X=X(e),Y=Y(e)均为随机变量，称(X,Y)为二维随机变量（或二维随机向量）。（X=X(e)和Y=Y(e)均称为一维随机变量）§1、二维随机变量(续1)1.(X,Y)的分布函数定义:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}称为(X,Y)的分布函数，或X和Y联合分布函数.记为:F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},(为(X,Y)

2、落在D内的概率.)性质：1.2.3.F(x,y)关于x,y均为不减函数;4.右连续：F(x+0,y)=F(x,y);F(x,y+0)=F(x,y).§1、二维随机变量（续2）D1:x1

3、1……pi1……y2p12p22……pi2……………………………………yjp1jp2j……pij…………......……………..……分布函数F(x,y)=§1、二维随机变量（续4）例1设X在1，2，3，4中等可能取值，Y在1至X中等可能取值，求(X,Y)的分布律。解：pij=P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j

4、X=i},j≤iXY123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16§1、二维随机变量（续5）3.连续型(X,Y)的概率密度若二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)可表为:其中f(x,y)≥0，

5、则称(X,Y)为连续型二维随机变量，f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或X和Y的联合概率密度。性质：1.f(x,y)≥0;4.在f(x,y)的连续点(x,y)，有3.2.§1、二维随机变量（续6）例2设(X,Y)具有概率密度1.求分布函数F(x,y)；2.求概率P{Y≤X}.2.P{Y≤X}=P{(X,Y)}∈D}解:F(x,y)=x§1、二维随机变量（续7）4.常见二维连续型随机变量(1)二维正态分布设(X,Y)的概率密度为都是常数，且其中则称(X,Y)服从参数为记为的二维正态分布。§1、二维随机变量（续8）(2)二维均匀分布设(X,Y)的概率密度为则称

6、(X,Y)服从平面区域D上的均匀分布,SD为D的面积.§1、二维随机变量（续9）推广：设试验E的样本空间S={e},Xi=Xi(e)(i=1,2,…,n)均为随机变量，则称(X1,X2,…,Xn)为n维随机变量（或n维随机向量）；对任意个实数x1,x2,…,xn，称F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的分布函数,或X1,X2,…,Xn的联合分布函数.§2、边缘分布边缘分布函数(X,Y)中，X、Y均为随机变量，它们的分布函数分别记为FX(x)和FY(y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的

7、边缘分布函数。FX(x)=P(X≤x)=P{X≤x,Y≤+∞}=F(x,+∞)FY(y)=P(Y≤y)=P{X≤+∞,Y≤y}=F(+∞,y)§2、边缘分布(续1)2.离散型随机变量的边缘分布律Y的分布律P.j=P{Y=yj}=XY.X1X2……xi……∑y1P11P21……Pi1……P.1y2P12P22……Pi2……P.2……………………………………yjP1jP2j……Pij……P.j………………………..…………∑P1.P2.……Pi.……1X的分布律Pi.=P{X=xi}=(i=1,2,…)称为(X,Y)关于X的边缘分布律(j=1,2,…)称为(X,Y)关于Y的边

8、缘分布律§2、边缘分布(续2)2.离散型随机变量的边缘分布律例1设X在1，2，3，4中等可能取值，Y在1至X中等可能取值,已求(X,Y)的分布律如下：XY123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16求(X,Y)的边缘分布律解：关于X的边缘分布律X1234P1/4(1/8+1/8=)1/4(1/12+1/12+1/12=)1/4(1/16+1/16+1/16+1/16=)1/4Y1234P(1/4+1/8+1/12+1/16=)25/48(1/8+1/12+1/16=)1