随机变量的相互独立性

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1、3.3随机变量的独立性1随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.两随机变量独立的定义是：2设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),X和Y的边缘分布函数分别为FX(x),FY(y),若x,y,有F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X和Y相互独立定义:其意义:事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立用分布函数表示,即它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函

2、数等于两个边缘分布函数的乘积.3离散型:X与Y相互独立即pij=pi.p.j(i,j=1,2,…)连续型:X与Y相互独立若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立=0f(x,y)=fX(x)fY(y)P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}4例1设二维随机变量(X,Y)的分布律为:YX12312若X与Y相互独立,求,之值5解:=P{X=2,Y=2}=P{X=2}P{Y=2}=P{X=2,Y=3}=P{X=2}P{Y=3}又由解得:6例2设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在(

3、0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度为:求P{Y≤X}解:由题意可知7P{Y≤X}=0.3697f(x,y)=fX(x)fY(y)oxy0.2D8证明:例3设:(X,Y)∼N求证:X与Y独立=09由“”把=0代入于是:∴X与Y独立10“”∵X和Y相互独立∴(x,y)R2.有f(x,y)=fX(x)fY(y)对比两边∴=0特别,取代入上式有即:11例4设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：x>0即：对一切x,y,均有：故X,Y独立y>012若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解：0

4、10

5、X-Y

6、5)及P(X

7、题意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率15解一：P(

8、X-Y

9、5)=P(-5Y)P(

10、X-Y

11、5)17类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.18在某一分钟的任何时刻，信

12、号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.19类似于二维随机变量的理解定义:将n个随机变量X1,X2,…,Xn构成一个n维向量(X1,X2,…,Xn)称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数:F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}以上所述关于二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度及独立性等概念，容易推广到N维随机变量中去。20离散型:P{X1=x1j1,X2=x2j2,…,Xn=xnj

13、n}=pj1j2…jn连续型:F(x1,x2,…,xn)21设F(x1,x2,…,xn)为n维(X1,X2,…,Xn)的分布函数,F(x1,x2,…,xn)=22定理1若连续型随机向量（X1,…,Xn）的概率密度函数f(x1,…,xn)可表示为n个函数g1,…,gn之积，其中gi只依赖于xi，即f(x1,…,xn)=g1(x1)…gn(xn)则X1,…,Xn相互独立,且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.最后我们给出有关独立性的两个结果：补充23定理2若X1,…,Xn相互独立,而Y1=g1

14、(X1,…,Xm),Y2=g2(Xm+1,…,Xn)则Y1与Y2独立.24