概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)

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1、第3章多维随机变量及其分布3.4随机变量的相互独立性定义3.9设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi(xi)为Xi的边缘分布函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有nP{X1x1,X2x2,,Xnxn}P{Xixi}i1n即F(x1,x2,,xn)FXi(xi)i1则称X1，X2，…，Xn相互独立．3.4随机变量的相互独立性易知，在离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，…，xn，有nP{X1x1,X2x2,,Xnxn}P{Xixi}i1则X1，X2，…，Xn相互独立．在连续型随机变量的

2、情形，如果下式几乎处处成n立f(x1,x2,,xn)fXi(xi)i1则X1，X2，…，Xn相互独立．这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集外处处成立．3.4随机变量的相互独立性特别地，二维的情形1)设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数分别为F(x),F(y),则有XYX和Y相互独立F(x,y)FX(x)FY(y).2)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{Xx,Yy}p,i,j1,2,.ijijX和Y相互独立P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},即X和Y相互独立PijPi.P.j3.4随机变量的相互独立性3)设

3、连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为f(x),f(y),则有XYX和Y相互独立f(x,y)fX(x)fY(y).在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式f(x,y)fX(x)fY(y)不成立.3.4随机变量的相互独立性【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为YyyyX123xa1/9c1x1/9b1/32若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值．解：首先写出两个边缘边缘分布律Yyyyp.X123ixa1/9ca+c+1/91x1/9b1/3b+4/92p.a+1/9b+1/9c+1/3a+b+c+5/9=

4、1j3.4随机变量的相互独立性Yyyyp.X123ixa1/9ca+c+1/91x1/9b1/3b+4/92p.a+1/9b+1/9c+1/3a+b+c+5/9=1j利用X与Y相互独立的条件，41由p22p2p2,即b(b)(b),解之得b2/9.99再由ppp,141),2323即(b)(c39321将b代入解得c,9651最后利用abc1得a.9183.4随机变量的相互独立性【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量1当XY为偶数Z0当XY为奇数求Z的分布律，(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独

5、立？解：由X与Y的分布律X01Y01与p0.50.5p0.50.5ij及独立性得到下表：3.4随机变量的相互独立性•p•0.25•0.25•0.25•0.25ij•(X，•(0，•(0，•(1，•(1，Y)0)1)0)1)•Z•1•0•0•1•(X，•(0，•(0，•(1，•(1，Z)1)0)0)1)(X，Z)的分布律及边缘分布律为：•X•pi.•0•1•Z•0•0.25•0.25•0.5•1•0.25•0.25•0.5•p.j•0.5•0.5•1由于P{X=i，Z=j}=0.25=0.50.5=P{X=i}P{Z=j}（i，j=0，1），所以X与Z独立．3.4随机变量的相互独立性【例3.1

6、8】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为0.5x0.5y0.5(xy)1eee,x0,y0;F(x,y)，0,其它问X与Y是否独立？解法一：由边缘分布函数的定义知0.5x1e,x0FX(x)limF(x,y)y0,x00.5y1e,y0FY(y)limF(x,y)x0,y0显然，对任意实数，均有F(x,y)FX(x)FY(y)，故X与Y独立．3.4随机变量的相互独立性解法二：0.5x0.5y0.5(xy)1eee,x0,y0;F(x,y)

7、0,其它由分布函数与概率密度的关系知20.5(xy)F(x,y)0.25e,x0,y0f(x,y)xy0,其它0.25e0.5(xy)dyx00.5e0.5x,x0fX(x)f(x,y)dy00,x00,x00.25e0.5(xy)dyy00.5e0.5y,y0fY(y)f(x,y)dx