随机变量的独立性将事件独立性推广到rv

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1、§3.3随机变量的独立性——将事件独立性推广到r.v.设(X,Y)为二维r.v.若对任何则称r.v.X和Y相互独立两个r.v.的相互独立性实数x,y都有§3.3定义94由定义知二维r.v.(X,Y)相互独立95X与Y独立即连续型二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布对一切i,j有离散型X与Y独立对任何x,y有96二维连续r.v.(X,Y)相互独立97证对任何x,y有取相互独立命题98故将代入即得99例1已知(X,Y)的联合d.f.为(1)(2)讨论X,Y是否独立？例1100解(1)由图知边缘d

2、.f.为11显然，故X,Y相互独立101(2)由图知边缘d.f.为显然，故X,Y不独立11102判连续型r.v.相互独立的有关命题设f(x,y)是连续二维r.v.(X,Y)的联合d.f.r(x),g(y)为非负可积函数,且则X,Y相互独立且103利用此结果,不需计算即可得出(1)中的r.v.X与Y是相互独立的.再如,服从矩形域{(x,y)

3、a

4、边缘分布为106对于分布函数也有类似结果设F(x,y)是二维连续r.v.(X,Y)的联合分布函数,则(X,Y)相互独立的充要条件为且107判独立的一个重要命题设X,Y为相互独立的r.v.u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(Y)也相互独立.即独立r.v.的连续函数仍独立.下面予以证明.108设X与Y的d.f.分别为fX(x),fY(y),则因此，事实上,109若X,Y为相互独立的r.v.则aX+b,cY+d也相互独立；X2,Y2也相互独立；随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量若则称r.v.

5、X1,X2,,Xn相互独立由命题知110若两随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11-110.250.25Ypij0.250.25故不能说X=Y.注意由左表易得：111作业P.133习题三12131518习题112