资源描述：
《随机变量独立性性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、-议随机变量独立性及其应用作者：张利荣指导老师：桂春燕摘要随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.关键词离散型随机变量连续型随机变量独立性联合分布1引言概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.
2、概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明
3、杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.2随机变量独立性的定义定义设为二维随机变量,若对于任意的实数,事件与相互独立,即,则称与相互独立.若为与的联合分布函数,、分别是与的边缘分布函数,则式等价于.3随机变量独立性的性质及其判别方法.---3.1离散型随机变量独立性的判定判别法一定理1设二维离散型随机变量的联合分布列为,,的边分缘布列是,,的边缘分布列是,,则和
4、相互独立的充要条件为:对所有的取值有.证明充分性：若,因为是二维离散型随机变量,所以对任意的有即和相互独立.必要性：若和相互独立,不妨设,则对任意,有.当时,有,即,亦即.---.如此进行下去,最后可得.如此下去,最后得出..由此定理得证.例1设随机变量和相互独立,并且有,,,定义随机变量为问当取何值时,和相互独立?解由于,,所以,,,.由此得的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.表11.---为使和相互独立,有由于，故方程组的解为,即当时,和相互独立.判别法二：设是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为,可以用下表所示表2且,
5、矩阵称为的联合概率分布矩阵,其行向量记为,记的联合分布列.引理设是非零向量,和线性相关,则可由线性表出..---证明因为和线性相关,所以存在不全为零的两个数和,使得,又因为是非零向量,如果,则,则,所以,即可由线性表出.定理2若,则与相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明充分性：若中任意的两个行向量线性相关,由,则中至少有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设是非零向量,由引理可知都可以由线性表示,则,,且,这里,且.又由于,的边缘分布分别为:,,因此即与相互独立.必要性：若与相互独立,由
6、,则中的任意两个行向量可写为.---,,显然与线性相关.推论1若,则与相互独立的充要条件是矩阵的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2若,则与不相互独立的充要条件是存在矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性无关.推论3若,则与不相互独立的充要条件是存在矩阵的任意两行(或两列)对应元素不成比例.推论4若,则与相互独立的充要条件是矩阵的秩为.推论5若,则与不相互独立的充要条件是矩阵的秩大于.推论6若中有某个,但元素所在的行与列的所有元素不全为零,则与不相互独立.例2从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设分别在放回
7、抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量的联合分布列,并判别与的相互独立性.解1)放回抽样：二维随机变量的联合分布列为:表3且,因此,故与相互独立..---2)不放回抽样：二维随机变量的联合分布列为:表4且,因此,所以与不相互独立.3.2连续型随机变量独立性的判定判别法一：定理3设是二维连续型随机变量,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别为，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则和相互独立的充要条件为:除面积为零的区域外,恒有.证明充分性：设,则对任意的实数,有.所以,和相互独立.必要性：设和相互独立,则有.因为上式对任意的
8、都成立,于是有,综上,定理得证.例3若的联合密度函数为问和是否相互独立?.---解先分别求和的边缘密度函数:当或时,.当时,有.因此当或时,.当时,.因此很明显,,所以和不相互独立.判别法二定理设是连续型随机变量,其联合密度函数为则随
