第二章概率统计基础

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1、第二章概率统计基础计量经济学，即使在实用和简明的形式下，对数据统计学的基本原理的清晰理解都是必不可少的。数理统计学是计量经济学的基础，它为计量经济学的研究提供了唯一而有效的方法，从某种意义上来说，计量经济学就是使数理统计学在建立经济模型中得以应用的一门学科。数量统计学的逻辑结构如下：(1)总体和样本引入随机变量来描述总体（2）对总体的描述：随机变量的数字特征数学期望描述总体的一般水平方差描述总体的离散程度（3）对样本的描述：样本分布的数学特征样本平均数，描述样本的一般水平，样本方差，描述样本的离散程度实际上，和是和的无偏估计量。（4）总体与样本的连接：随机变量的分布（5）如何通过样本数据和

2、样本分布特征来估计总体的数字特征，即和，以及总体中数据生成过程的各种参数。a.估计量的特征：无偏性，有效性，一致性等。b.估计的方法：矩法点估计最大似然估计法最小二乘估计法估计方法估计期望单个总体估计方差区间估计估计其它参数两个总体c.对估计量的检验：假设检验16一个正态总体的假设检验对总体分布的检验两个正态总体假设检验的假设检验总体分布的假设检验对各种系数、参数估计值的检验第一节总体、样本和随机函数四个重要的定义：总体：研究对象的全体称为总体，组成总体的的每个基本单位称为个体。有限总体和无限总体。样本：总体中随机抽出若干个体而组成的集体，称样本，样本中所含个体的个数，称样本容量。随机变量

3、：根据概率的不同而取不同数值的变量，叫做随机变量。离散型随机变量和连续型随机变量。我们经常对表示总体特征的数量指标感兴趣，如一批灯泡的平均寿命。就总体的某一数量特征而言，每个个体的取值不一定完全相同，但它是按照一定规律分布的。符合随机变量的定义，可以将之看成一个随机变量。所谓总体就是一个随机变量，而所谓样本就是n个（样本容量是n）相互独立且与总体有相同分布的随机变量。每一次具体抽样所得的数据，就是n元随机变量的一个观察值（样本值），记为。总体可以表示为一个随机变量，并具有自己的分布。而样本就是n个相互独立且与总体有相同分布的随机变量。可见，通过分布可以把样本与总体联系起来，换句话来说，总体

4、分布是样本和总体的连接点。统计量：设（）为一个样本，则称（）为统计量。如：一、随机变量的分布（一）离散型随机变量的分布以表格来表示：16…………的概率分布情况也可以用数学等式（概率函数）来表达：显然：例1：用随机变量描述掷一颗骰子的试验。解：分布表如下表所示：123456概率函数为（二）随机变量的分布函数若是一个随机变量（可以是离散的，也可以是非离散的），对任何实数，令,称为随机变量的分布函数。对于任意，有：=－=，可见，只要知道分布函数，就可以知道在任一区间取值的概率，它完整地描述了随机变量的变化情况。性质：（1）对一切（2）为不减函数16（3）例2：求例1中的分布函数解：分布函数与概率

5、函数满足下列关系（三）连续型随机变量的分布对于任何实数,如果随机变量的分布函数可以写成，其中，则称为连续型随机变量，称为的概率分布密度函数，常写作。性质：（1）；（2）例3：若有密度函数，则称服从区间上的均匀分布，试求。解：16●分布函数、概率函数、密度函数三者的关系分布函数既适用于离散型变量，也适用于连续型变量，是描述各种随机变量的最一般的共同形式。但由于不直观，所以很少使用。对于离散型随机变量，概率函数简单而直观地说明了随机变量取某个值的概率；对于连续型变量，密度函数直观地表示了在附近取值的概率大小，比分布函数要直观。二、二元随机变量定义：如果二元随机变量所有可能的取值为有限个或可列个

6、，并且以确定的概率取各个不同的数值，则称为二元离散型随机变量。可以用表格表示如下：……………………………………………………也可以用数学表达式来说明：显然，定义：如果存在一个非负函数，使得二元随机变量的分布函数，对于任意的实数都有：16则称是二元连续型随机变量，称的联合分布密度。的性质：（1）≥0（2）对于任意实数，有三、独立性事件的独立性如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即，称事件A对于事件B独立。显然，若A对于B独立，则B对于A也一定独立。我们称事件A与B相互独立。A与B独立的充要条件是随机变量的独立性对于任何实数，如果二元随机变量的联合分布函数等于和的边缘分布函数的乘积，

7、即=，则称随机变量和相互独立。16第一节对总体的描述——随机变量的数字特征分布是对随机变量的一种最完全的描述，但求出总体分布不是一件容易的事情。在许多情况下，我们不需要全面考察随机变量的变化情况，只需要了解它的一些综合指标就够了。所谓数学特征，就是用数字来表示的随机变量的一些重要综合指标。一、数学期望假定一个随机变量X有个不同的可能取值，而是它们相应的被取到的概率，则随机变量X的数学期望为性质：1．如果为常数，则2．如果