第二章 概率统计基础

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1、第二章概率统计基础提要介绍计量经济分析的概率统计基础知识包括随机性和概率、随机变量和概率分布、参数估计和假设检验在相同的概率统计知识平台上学习计量对于学习和理解计量经济分析方法有启发有较好概率统计基础的读者阅也会有所收获。随机现象事件事件概率随机现象：事前不可预言的现象，即在相同条件下重复对一个现象进行观察，每次观察的结果具有多种可能性，而且在每次观察之前都无法预言会出现哪一个结果，这种现象称为随机现象。事件：对现象观察（试验）的结果。对某种自然现象作一次观察称为一个试验。事件在一次观察（试验）中是否发生是不确定的，但在大量重复观察（试验）中，它的发生具有统计规律性。当试验的次数很大时，事件A

2、发生的频率具有一定的稳定性，当事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率。概率的频率定义概率定义：条件概率和统计独立性条件概率已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为A以B为条件的“条件概率”。事件独立性若果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响则称它们是“统计独立的”。随机变量和概率分布在概率统计和计量经济分析中，人们更关心的是有随机性的经济指标水平，都是数量化的随机事件。例如某时刻的股票价格，某天某银行吸收的存款数量，某商场某月的销售额，某商品的市场价格水平等。随机事件都可以采取数量标识，扔骰子的点数、某地区的降雨量。对随机现象观察的结果有多种可能性（多

3、个事件），每一个可能结果（每一事件），都对应一个实数，这个实数随观察的结果而改变，观察的结果是一个变量，称之为随机变量。例如：(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用ξ表示射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。(2)抛一枚硬币，ξ表示正面出现的次数，它是随机变量，可取0和1两个值。(3)某段时间内候车室旅客数目记为ξ，它可取0及一切不大于最大容量M的自然数。(4)一块土地上农作物的产量ξ是随机变量，它可以取区间[0，T]的一切值。随机变量按取值情况分为两类：(1)离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。(2)非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全

4、部值。非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。（二）概率分布随机变量重要的是它们取特定值的可能性，称为随机变量的“概率分布”（Probabilitydistribution）（概率函数）。离散型随机变量只能取有限或可数个值，概率分布可以用罗列、表格、图形表示等。连续要用分布函数。ξ123456P1/61/61/61/61/61/6连续型随机变量要用分布函数和概率密度函数（三）分布函数连续型随机变量可能的取值无穷多，每个取值（每个事件）的概率无穷小，无法用罗列概率方法表达研究。只能用反映随机变量的取值在某个特定范围内的概率“分布函数”来描述。分布函数—

5、—随机变量取值不大于给定水平的概率构成的函数：分布函数反应的是随机变量取值落在（-∞，x）这个区间的概率大小。已知随机变量的分布函数就知道了随机变量在任何区间上取值的概率，分布函数完整地描述了随机变量的情况，掌握分布函数就等于掌握了随机变量的随机性规律。（四）密度函数连续型随机变量概率分布另一个概念，“密度函数”（Densityfunction）或称“概率密度函数”。密度函数密度与分布函数关系1.定义(p33)对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-

6、<+)密度函数的几何意义为三、随机变量的数字特征（一）期望（二）方差（三）期望和方差的性质（四）协方差和相关系数（一）数学期望的定义例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572则学生的平均成绩是总分÷总人数。即数学期望——描述随机变量取值的平均特征（集中趋势）为X的数学期望，简称期望或均值。例：掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。定义3若X~f(x),-

7、v.X的方差，记为D(X),或Var(X).称为r.v.X的标准差可见（四）协方差和相关系数1.协方差定义若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？2.定义若X，Y的方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0，则称为X与Y的相关系数.3.相关系数的性质(1