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1、概率统计模型第一讲概率论与数理统计基础1.概率论的基本知识2.蒙特莫特问题3.报童的诀窍4.考试成绩的标准分5.大数定律和中心极限定理(1)概率的公理化定义设E是随机试验,是它的样本空间。对于E中的每一个事件A赋予下一个实数,记为P(A)。若P(A)满足以下三个条件:(1)非负性:对每一个事件,有P(A)0;(2)P()=1;(3)可列可加性:设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则1.概率论的基本知识(2)条件概率的相关内容在事件B,已经发生条件下,事件A发生的概率,称为事件A在给定事件B的条件下的条件概率,简称A对B的条件概率,记作P(A
2、B).例110个考签
3、中有4个难签,3人参加抽取(不放回),甲先乙次丙最后。求：(1)甲抽到难签的概率;(2)甲、乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率；(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率。解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则解“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;全概率公式全概率公式说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.称此为贝叶斯公式.贝叶斯公式例3解(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得(3)随机变量设E是随机试验,样本空
4、间为。若对于每一个样本点∈都有唯一的实数X()与之对应,称X()为随机变量。随机变量常用,,,X,Y,Z等表示。红色白色说明定义离散型随机变量的分布律也可表示为在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.定义1正态分布(或高斯分布)正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景(4)随机变量的数学期望1.离散型随机变量X有分布律：P{=xk}=pk(k=1,
5、2,…)若级数kxkpk绝对收敛,则称这个级数为随机变量X的数学期望,简称期望或均值,记为EX,即EX=kxkpk设是连续型随机变量，其密度函数为如果绝对收敛，定义的数学期望为2.例4如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择投资.例5解(5)随机变量的方差随机变量的离差的平方的数学期望称为随机变量的方差,记作D。随机变量的方差的计算D=E(-E)2离散型随机变量的分布
6、律为P{=xk}=pk,k=1,2,…则的方差为D=k(xk-E)2pk连续型随机变量的概率密度函数为f(x),则的方差为2.蒙特莫特问题问题元旦节快到了，班里准备举办一次联欢活动。小刘提议每人带上一件小礼物放在一起，用抽签的方式各取回一件作为纪念。这提议立即引起了大家的兴趣，多数同学都认为这个方法有新意。可也有人提出疑问：这样抽是否会有多数人把自己带去的礼品又抽回去了呢？模型假设假设1这个班级共有n个同学假设2每个同学都随机地挑选一个礼物作为纪念模型分析1708年法国数学家蒙特莫特提出，或称为“配对问题”。用概率论知识计算：如果有n个人参加这一项活动，至
7、少有1人取回自己所带的礼物的概率以及平均有多少人会取走自己所带的礼物。模型建立当n较大时，至少有1人取到自己所带的礼物的概率约为再引入随即变量而3.报童的诀窍问题报童售报：a(零售价)>b(购进价)>c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望建模设每天购进n份，日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…准备求
8、n使G(n)最大已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱0rp4.考试成绩的标准分问题高等学校的招生考试从1993年起在部分省、市试行“将原始分数换算为标准分，并公布标准分为录取的依据”，在试验成功的基础上，参考、借鉴国外的先进做法，当时的国家较为制定了《普通高校全国统一考试建立标准分数制度实施方案，并逐步推向全国。近几年来，不仅高考考试试行标准分，而且中考和其它考试也都换算成标准分。什么是标准分，为什么它更合理和科学呢？模型假设假设1每科考试的卷面分数
