2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质

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1、第2章2.1.2第1课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1　　　　　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：　由椭圆中a＞b，a＞c＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选D.答案：　D2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)A．8,2B．5,4C．9,1D．5,1解析：　因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距

2、离为a－c＝1.答案：　C3．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：　由题意知4a＝16，即a＝4，又∵e＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：　B4．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)5A.B.C.D.解析：　2×2b＝2a＋2c，∴a＋c＝2b，∴a2＋c2＋2ac＝4(a2－c2)，即5c

3、2＋2ac－3a2＝0，∴5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍)，故选B.答案：　B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：　依题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，∴＝，∴＝，∴b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1.答案：　＋＝16．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心

4、率为________．解析：　依题意，△BF1F2是正三角形，5∵在Rt△OBF2中，

5、OF2

6、＝c，

7、BF2

8、＝a，∠OF2B＝60°，∴acos60°＝c，∴＝，即椭圆的离心率e＝.答案：　三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝.过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．解析：　e＝＝＝，∴＝，∴a2＝3b2，即a＝b.过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1.把a＝b代入，即x－y－b＝0，又由点到直线的距离公式得＝，解得b＝1，∴a＝，∴所

9、求方程为＋y2＝1.8.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．解析：　方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)．M点的坐标为，5则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，

10、F1F2

11、2＋

12、MF2

13、2＝

14、MF1

15、2，即4c2＋b2＝

16、MF1

17、2.而

18、MF1

19、＋

20、MF2

21、＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.∴e2＝＝＝1－＝，∴

22、e＝.方法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则M，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.尖子生题库☆☆☆9．(10分)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴为短轴的倍，直线y＝x与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右顶点，·＝，求椭圆方程．解析：　根据题意a＝b，C(a,0)，设A(t，t)，则t>0，＋＝1，∴t＝b.∴＝，＝(a,0)，·＝ab＝b2＝，5∴b＝1，a＝，∴椭圆方程为＋y2＝1.5