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1、第六章数理统计的基本概念数理统计和概率论一样都是研究随机现象的规律性.概率论是从给定分布出发来研究随机现象的规律，数理统计则是从实际观测的数据资料出发研究的.数理统计处理问题基本思想：从被研究对象的全体中抽取一部分，根据这部分的情况对整体作出判断.数理统计要解决两个问题：(1)抽取的对象要合理.即实验设计与抽样调查设计，目的是如何有效地收集数据；(2)数据处理要恰当，即对收集到的数据如何进行分析，并作出推断.本课程只讨论数据处理，也叫统计推断.它包括参数统计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.第一节概述第二节总体和样本定义1研究对象的全体称为总体(又叫母体
2、)，而组成总体的每个对象称为个体。由于总体就是一个随机变量(或向量)X,因此研究总体就是要研究X的概率分布或某些特征量.在实际问题中，往往不需要研究总体的一切属性，而只要研究总体的某项数量指标，因此，可以把总体的某个数量指标的全体看成是总体，而把每个数值作为个体。若用一个随机变量X来描述总体的某个数量指标，则称随机变量X为总体.若X的分布函数为F(x)，则也称F(x)为总体的分布函数。定义2设总体X的分布函数为F(x)，对总体作n次抽样，第i次抽样所得的随机变量为Xi，i=1,2,…,n,若X1,X2,…，Xn相互独立且和X同分布，则称（X1,X2,…，Xn
3、）为简单样本，简称为样本。样本总体中的一部分元素成为样本(又叫子样),这一部分元素的个数成为样本容量.必须对抽取样本提出一些要求，这些要求主要有两条，第一是代表性，即要求抽取的样本确实能代表总体；第二是独立性，即每次抽取的结果互不影响.设X是具有分布函数F的随机变量，若X1X2…Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，…，xn称为样本值。对于简单随机样本X1，X2，…，Xn，其联合概率分布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函数为F(x)，则样本X1，X2
4、，…，Xn的联合分布函数为样本的联合分布又若X具有概率密度f(x)，则X1，X2，…，Xn的联合概率密度为则X1，X2，…，Xn的联合分布律为若X的分布律为例1设总体X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，求样本X1，X2，…，Xn的联合分布（称为样本分布）。解:X的分布律为所以样本X1，X2，…，Xn的联合分布律为例2设总体X～N(μ,σ2).(X1，X2，…，Xn)是来自X的样本，求样本的联合密度.解:定义1设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称g(
5、X1,X2,…,Xn)为统计量.设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值.第三节统计量统计量的概念1.样本平均值2.样本方差3.样本标准差4.样本k阶(原点)矩5.样本k阶中心矩常用的统计量它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息6.样本协方差（样本相关矩）7.样本相关系数其中：X，Y为两个总体，(X1,X2,…,Xn)来自总体X的样本，(Y1,Y2,…,Yn)来自总体Y的样本.它们的观察值分别为例1某班主任老师抽查了5名学生的高考成绩X和大学一年级5科的平
6、均成绩Y结果如下表，求X,Y之间的样本相关系数.高考成绩X521515506525518大一成绩Y8172696880解：例2设总体X的期望、方差分别为X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样本方差分别记为。求由于所以顺序统计量（次序统计量）定义2：第k顺序统计X(k)是上述子样（X1,X2,…,Xn）这样的一个函数，当样本（X1,X2,…,Xn）取值（x1,x2,…,xn）时，X(k)取值x(k).定义3设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本.称Rn=max{X1,X2,…,Xn}-min{X1,X2,…,Xn}为样本极差，它反映了样本
7、值的波动幅度.第四节抽样分布定理1设随机变量，则X的密度函数为1、分布设X1,X2,…,Xn相互独立，且Xi~N(0，1)，i=1，2，…，n.，称X服从自由度为n的分布.记作：.的图像如下分布具有以下性质:其中Z～N(0,1)。标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上分位点记为,它满足对不同的分布的上分位点的值已制成表格，可以查用。2、t分布设X~N(0,1),Y~,且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布,记为t~t(n)。定理2若随机变量t~t(n).则t的密度函数为t(n)分布的密度函数关于t=0单峰对称性质:从图形可以看出t分布
8、和N(0,1)分布相当接近。f(t)是偶函数，f(-
