数理统计第六章 数理统计的基本概念.ppt

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1、《数理统计》——对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值——对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性数理统计的分类描述统计学推断统计学第六章数理统计的基本概念第六章参数估计(第七章)假设检验(第八章)回归分析(第十一章)方差分析(第九章)推断统计学总体——研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.总体和样本§6.1基本概念§6.1样本——从总体中抽取的部分个体.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称

2、样本的一个实现.用表示,n为样本容量.样本空间——样本所有可能取值的集合.个体——组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值.用表示.若总体X的样本满足:一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是(1)与X有相同的分布(2)相互独立则称为简单随机样本.简单随机样本N/n10.总体中个体总数样本容量设总体X的分布函数为F(x),则样本若总体X的密d.f.为f(x),则样本的联合d.f.为的联合分布函数为设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量

3、.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义统计量例是未知参数,若,已知,则为统计量.是一样本,是统计量,其中则但不是统计量.常用的统计量为样本均值为样本方差为样本标准差设是来自总体X的容量为n的样本,称统计量为样本的k阶原点矩为样本的k阶中心矩例如(5)顺序统计量与极差设为样本,为样本值,且当取值为时,定义r.v.则称统计量为顺序统计量.其中,称为极差注样本方差与样本二阶中心矩的不同故推导关系式1）推导设则2）例1从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组

4、样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.解令例1则例2在总体中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解故例2例3设总体X的概率密度函数为为总体的样本,求(1)的数学期望与方差(2)(3)解(1)例3近似(3)由中心极限定理(2)确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一正态总体是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.§6.2抽样分布§6.2(1)正态分布则特别地,则统计中常用分布若i.i.d.~若~标准正态分布的分位数正态分布的上分位数.定义正态分布的双侧分位数.若,则称为标准若,则称为标准标准正态分布的

5、分位数图形z•常用数字/2-z/2=z1-/2/2z/2•-z/2•(2)分布(n为自由度)定义设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1时,其密度函数为卡分布n=2时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.一般其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为n的n=2n=3n=5n=10n=15例如分布的性质20.05(10)•n=10性质性质性质性质相互独立,证1设则(3)t分布(Student分布)定义则称T服从自由度为n的T分布.其密度函数为X,Y相互独立,设t分布t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=2

6、0t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°T分布的上分位数t与双测分位数t/2均有表可查.性质n=10t-t••t/2-t/2••/2/2(4)F分布则称F服从为第一自由度为n,第二自由度为m的F分布.其密度函数为定义X,Y相互独立，设令F分布m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10F分布的性质例如事实上,故求F(n,m)•性质例1证明证例1证例2证明：设令例2抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体与相互独立设总体,样本为()，(1)(2)结论(II)两个正态总体相互独立的简单随机

7、样本.令设与分别是来自正态总体与的则若则(3)则相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的与相互独立(4)的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例3设,为使样本均值大于70解设样本容量为n,则故令得即所以取例3例4从正态总体中，抽取了n=20的样本(1)求(2)求解(1)即例4故(2)故例5设r.v.X与Y相互独立，X~N(0,16),Y~N(0,9),X1,X2,…,X9与Y1,Y2,…,Y16分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解例5从而例6设总体的样本,为总体X试确定常数c,使cY服从分布.解故因此例6例7设是来自