第六章 数理统计的基本概念

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1、第六章数理统计的基本概念§6.1基本概念§6.2样本数字特征一、填空题1.若为来自总体的容量为的样本，则样本均值=，样本方差=；解：抽样分布定义：=，样本方差=；2．设总体,是的简单随机样本，则的概率密度；解：因为，所以.3．某种灯泡的寿命服从参数为的指数分布，是取自总体的简单随机样本，则的联合密度函数为；解：因为服从参数为的指数分布，其密度函数为，，所以的联合密度函数为4．设总体，为取自总体的一个样本，为样本均值，要使成立，则样本容量至少应取多大；解：由题设：，利用公式：，.5．设是来自总体的随机样本，为常数，且，则随机区间的长度的

2、数学期望为。解：长度为，所以.88二、选择题1.设，为的样本，则（C）（A）；（B）；（C）；（D）.2．设是总体的样本，则有（D）（A）；（B）；（C）；（D）以上三种都不对.3．设总体,是的样本，则（B）（A）；（B）；（C）；（D）.4．设总体,其中已知,是的样本，则不是统计量的是（C）（A）；（B）；（C）；（D）.5．设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于（C）（A）；（B）；（C）；（D）.解：考查正态分布百分位点概念.由题设，可得.故答案取C.6．设是来自正态总体的简单随机样本，与分别是样本均值与样本方差，

3、则（C）（A）；（B）；（C）；　（D）.解：考查样本数字特征.因为，可得，故答案取C.三、计算题1．设有下列样本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512求和。88解：；。2．设是的样本均值，是的样本均值，求证。证明：由于，所以。3．从一批零件中随机地抽取10件，记录其抗压强度数据为：48，70，51，51，70，68，73，68，51，73，求出关于该样本的样本分布函数。解；由题意列表：子样4851687073频率3/102/10因此可得样本分布函数4．设某商店1

4、00天销售电视机的情况有如下统计资料：日售出台数23456合计天数2030102515100求样本容量，样本均值，样本方差，经验分布函数。解：设是第天售出的台数，，所以样本容量；样本均值；样本方差；88经验分布函数5.设是取自正态总体中的一个大小为4的样本，其中已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.其中.解：由定义知：（1），（3），（4），（5）是统计量；而（2），（6）中的随机变量因含有未知的，故不是统计量。6.是取自正态总体中的一个样本，.求的联合密度函数。解：因为都服从正

5、态分布，所以都是正态随机变量的线性组合，故都是正态随机变量，且互相独立.又.所以，，所以，的联合密度为.故我们得到的联合密度函数如下：。7．从正态总体中抽取容量为的一个样本，如果要求样本均值位于区间内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大?解：由于，所以有：88，所以样本容量至少应取35。8．设有一枚均匀的硬币，以表示抛一次硬币正面向上的次数，试问要抛多少次才能使样本均值落在[0.4，0.6]内的概率不小于0.9？解：，，在较大时，可以近似认为，则按要求：，即要求：，查正态分布表，即至少应抛68次。9．当随机变量独立同分布且为正

6、时,试证:.证明：考察随机变量，由题设同分布，所以也同分布，因之具有相同的数学期望.故，又，所以，即，可知有，即.10．设，其中均为未知，从总体中抽取简单随机样本，样本均值为，求统计量的数学期望。解：易知相互独立，且都服从正态分布88，因此可将其视为取自总体的容量为的简单随机样本，其样本方差为，因为样本方差是总体方差的无偏估计，即，故。11．设为来自的简单随机样本，为样本均值，记；求(1)的方差；(2)。解：(1)因为，所以，，所以；(2)注意到的独立性，有所以有。§6.3正态总体的抽样分布一、填空题1.设总体，样本容量为，则～分布，

7、～分布；88解：抽样分布定义：～，～.2．设是来自正态总体的简单随机样本，，则当时，统计量服从分布，其自由度为；解：因为：所以有：，从而，即，自由度为2.3.设随机变量和相互独立,且都服从正态分布，而和分别来自和的简单随机样本，则统计量服从分布，参数为；解：因为，而，所以，即服从参数为9的t分布.4.设总体服从正态分布，是来自总体的简单样本，则统计量服从分布，参数为；解：因为，，，所以，即服从参数为(10,5)的F分布.5.是来自总体的简单随机样本，分别为样本均值及样本方差，，则；解：因为，故对，，88所以由，查分布表，可得百分位点.

8、6．从正态总体中抽取一容量为16的样本，为样本方差，则；解：因为，注意分布的方差：，所以有.7．随机变量服从自由度为的F分布，则随机变量，服从分布，参数为。解：因为服从自由度为的F分布，即存在，，且独立，；而，故服从自由