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时间:2018-08-06
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1、第六章数理统计的基本概念§6.1基本概念§6.2样本数字特征一、填空题1.若为来自总体的容量为的样本,则样本均值=,样本方差=;解:抽样分布定义:=,样本方差=;2.设总体,是的简单随机样本,则的概率密度;解:因为,所以.3.某种灯泡的寿命服从参数为的指数分布,是取自总体的简单随机样本,则的联合密度函数为;解:因为服从参数为的指数分布,其密度函数为,,所以的联合密度函数为4.设总体,为取自总体的一个样本,为样本均值,要使成立,则样本容量至少应取多大;解:由题设:,利用公式:,.5.设是来自总体的随机样本,为常数,且,则随机区间的长度的
2、数学期望为。解:长度为,所以.88二、选择题1.设,为的样本,则(C)(A);(B);(C);(D).2.设是总体的样本,则有(D)(A);(B);(C);(D)以上三种都不对.3.设总体,是的样本,则(B)(A);(B);(C);(D).4.设总体,其中已知,是的样本,则不是统计量的是(C)(A);(B);(C);(D).5.设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足,若,则等于(C)(A);(B);(C);(D).解:考查正态分布百分位点概念.由题设,可得.故答案取C.6.设是来自正态总体的简单随机样本,与分别是样本均值与样本方差,
3、则(C)(A);(B);(C); (D).解:考查样本数字特征.因为,可得,故答案取C.三、计算题1.设有下列样本值:0.497,0.506,0.518,0.524,0.488,0.510,0.510,0.515,0.512求和。88解:;。2.设是的样本均值,是的样本均值,求证。证明:由于,所以。3.从一批零件中随机地抽取10件,记录其抗压强度数据为:48,70,51,51,70,68,73,68,51,73,求出关于该样本的样本分布函数。解;由题意列表:子样4851687073频率3/102/10因此可得样本分布函数4.设某商店1
4、00天销售电视机的情况有如下统计资料:日售出台数23456合计天数2030102515100求样本容量,样本均值,样本方差,经验分布函数。解:设是第天售出的台数,,所以样本容量;样本均值;样本方差;88经验分布函数5.设是取自正态总体中的一个大小为4的样本,其中已知,但未知,指出下面随机变量中哪些是统计量?(1);(2);(3);(4);(5);(6).其中.解:由定义知:(1),(3),(4),(5)是统计量;而(2),(6)中的随机变量因含有未知的,故不是统计量。6.是取自正态总体中的一个样本,.求的联合密度函数。解:因为都服从正
5、态分布,所以都是正态随机变量的线性组合,故都是正态随机变量,且互相独立.又.所以,,所以,的联合密度为.故我们得到的联合密度函数如下:。7.从正态总体中抽取容量为的一个样本,如果要求样本均值位于区间内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大?解:由于,所以有:88,所以样本容量至少应取35。8.设有一枚均匀的硬币,以表示抛一次硬币正面向上的次数,试问要抛多少次才能使样本均值落在[0.4,0.6]内的概率不小于0.9?解:,,在较大时,可以近似认为,则按要求:,即要求:,查正态分布表,即至少应抛68次。9.当随机变量独立同分布且为正
6、时,试证:.证明:考察随机变量,由题设同分布,所以也同分布,因之具有相同的数学期望.故,又,所以,即,可知有,即.10.设,其中均为未知,从总体中抽取简单随机样本,样本均值为,求统计量的数学期望。解:易知相互独立,且都服从正态分布88,因此可将其视为取自总体的容量为的简单随机样本,其样本方差为,因为样本方差是总体方差的无偏估计,即,故。11.设为来自的简单随机样本,为样本均值,记;求(1)的方差;(2)。解:(1)因为,所以,,所以;(2)注意到的独立性,有所以有。§6.3正态总体的抽样分布一、填空题1.设总体,样本容量为,则~分布,
7、~分布;88解:抽样分布定义:~,~.2.设是来自正态总体的简单随机样本,,则当时,统计量服从分布,其自由度为;解:因为:所以有:,从而,即,自由度为2.3.设随机变量和相互独立,且都服从正态分布,而和分别来自和的简单随机样本,则统计量服从分布,参数为;解:因为,而,所以,即服从参数为9的t分布.4.设总体服从正态分布,是来自总体的简单样本,则统计量服从分布,参数为;解:因为,,,所以,即服从参数为(10,5)的F分布.5.是来自总体的简单随机样本,分别为样本均值及样本方差,,则;解:因为,故对,,88所以由,查分布表,可得百分位点.
8、6.从正态总体中抽取一容量为16的样本,为样本方差,则;解:因为,注意分布的方差:,所以有.7.随机变量服从自由度为的F分布,则随机变量,服从分布,参数为。解:因为服从自由度为的F分布,即存在,,且独立,;而,故服从自由
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