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1、第六章数理统计的基本概念§6。1基本概念§6.2样本数字特征一、填空题1.若为来自总体的容量为的样本,则样本均值=，样本方差=；解：抽样分布定义:=，样本方差=;2．设总体,是的简单随机样本，则的概率密度；解：因为,所以。3．某种灯泡的寿命服从参数为的指数分布，是取自总体的简单随机样本，则的联合密度函数为;解：因为服从参数为的指数分布，其密度函数为，，所以的联合密度函数为4．设总体，为取自总体的一个样本,为样本均值，要使成立，则样本容量至少应取多大；解：由题设：,利用公式：，。5．设是来自总体的随
2、机样本,为常数,且，则随机区间的长度的数学期望为。解：长度为，所以.二、选择题1.设，为的样本，则（C）（A）；（B)；(C)；（D)。2．设是总体的样本,则有(D)（A）;（B）;（C）;（D)以上三种都不对.3．设总体，是的样本，则（B）（A）；（B）；（C）;(D）.4．设总体,其中已知,是的样本，则不是统计量的是（C）（A）;（B）;(C）；（D）。5．设随机变量服从正态分布，对给定的,数满足，若，则等于（C）（A）；（B)；（C）；（D)。解:考查正态分布百分位点概念。由题设，可得。故答
3、案取C.6．设是来自正态总体的简单随机样本,与分别是样本均值与样本方差,则（C）（A）;（B）；（C）； （D）。解：考查样本数字特征。因为，可得，故答案取C。三、计算题1．设有下列样本值：0。497，0.506，0。518，0。524，0.488,0.510，0.510，0.515，0。512求和.解:；。2．设是的样本均值,是的样本均值,求证。证明：由于，所以。3．从一批零件中随机地抽取10件，记录其抗压强度数据为：48，70，51，51,70,68，73,68，51,73，求出关于该样本的样
4、本分布函数。解；由题意列表：子样4851687073频率3/102/10因此可得样本分布函数4．设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：日售出台数23456合计天数2030102515100求样本容量，样本均值，样本方差,经验分布函数。解:设是第天售出的台数，，所以样本容量；样本均值；样本方差;经验分布函数5。设是取自正态总体中的一个大小为4的样本，其中已知，但未知，指出下面随机变量中哪些是统计量?（1）；(2）;(3）；（4)；（5)；(6）。其中。解：由定义知：(1），(3），（4),
5、（5）是统计量;而(2)，(6）中的随机变量因含有未知的，故不是统计量。6.是取自正态总体中的一个样本，。求的联合密度函数。解：因为都服从正态分布，所以都是正态随机变量的线性组合，故都是正态随机变量，且互相独立.又.所以，，所以,的联合密度为。故我们得到的联合密度函数如下：.7．从正态总体中抽取容量为的一个样本，如果要求样本均值位于区间内的概率不小于0。95,问样本容量至少应取多大?解:由于，所以有：，所以样本容量至少应取35。8．设有一枚均匀的硬币，以表示抛一次硬币正面向上的次数，试问要抛多少次
6、才能使样本均值落在［0.4，0.6]内的概率不小于0.9？解：，，在较大时,可以近似认为，则按要求：，即要求：，查正态分布表，即至少应抛68次。9．当随机变量独立同分布且为正时,试证：。证明：考察随机变量,由题设同分布，所以也同分布，因之具有相同的数学期望.故,又，所以，即，可知有，即.10．设，其中均为未知，从总体中抽取简单随机样本，样本均值为,求统计量的数学期望。解：易知相互独立，且都服从正态分布，因此可将其视为取自总体的容量为的简单随机样本，其样本方差为，因为样本方差是总体方差的无偏估计，即
7、，故。11．设为来自的简单随机样本,为样本均值，记；求(1）的方差;（2)。解：（1)因为，所以，,所以；(2）注意到的独立性,有所以有。§6.3正态总体的抽样分布一、填空题1。设总体，样本容量为,则～分布，～分布;解:抽样分布定义：～，～。2．设是来自正态总体的简单随机样本，,则当时,统计量服从分布,其自由度为；解:因为:所以有：，从而，即，自由度为2.3.设随机变量和相互独立,且都服从正态分布，而和分别来自和的简单随机样本，则统计量服从分布,参数为;解：因为，而，所以，即服从参数为9的t分布。
8、4.设总体服从正态分布，是来自总体的简单样本,则统计量服从分布，参数为;解：因为，，,所以,即服从参数为（10，5)的F分布.5。是来自总体的简单随机样本,分别为样本均值及样本方差，，则;解：因为,故对，，所以由，查分布表,可得百分位点。6．从正态总体中抽取一容量为16的样本，为样本方差，则；解：因为,注意分布的方差：，所以有.7．随机变量服从自由度为的F分布，则随机变量,服从分布，参数为.解：因为服从自由度为的F分布，即存在,，且独立，；而，故服从自由度为的F分布.二、选择题1.
