曲线积分与曲面积分(II)

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1、第九章曲线积分与曲面积分概念的引入第一类曲面积分的定义第一类曲面积分的计算法小结思考题作业第四节第一类曲面积分1实例解第一步:将Σ分为许多极其微小的子域,以dS为代表,dS的质量为:第二步:求和取极限则取所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.光滑的,它的面密度为连续函数求它的质量.第一类曲面积分一、概念的引入21.定义函数f(x,y,z)在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④第一类曲面积分二、第一类曲面积分的定义第i小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意分成n小块

2、3或记为即如曲面是曲面面积元素被积函数则积分号写成积分曲面称极限为数量值函数对面积的曲面积分，第一类曲面积分闭曲面,第一类曲面积分也称为42.存在条件在光滑曲面Σ上今后,假定曲面积分存在.第一类连续,第一类曲面积分3.第一类曲面积分的性质5补充设分片光滑的x的奇函数x的偶函数其中则曲面Σ关于yOz面对称,第一类的曲面积分64.第一类曲面积分的几何意义空间曲面Σ的面积:5.第一类曲面积分的物理意义面密度为连续函数的质量M为:第一类曲面积分其重心坐标为:7则按照曲面的不同情况分为以下三种：思想:化为二重积分计算.(1)第一类曲面积分三、第一类曲面积分的计算法8第一类曲面积分利用上述公

3、式计算第一类曲面积分的步骤：1.求出曲面2.将被积函数3.将面积微元dS换为9则则(2)(3)第一类曲面积分10给出，此时曲面的面积微元为于是，第一类曲面积分11例解投影域:所截得的部分.故第一类曲面积分二重积分的对称性12解依对称性知例抛物面有第一类曲面积分被积函数为第一卦限部分曲面.13极坐标投影域：第一类曲面积分14例所围成的空间立体的表面.第一类曲面积分15解投影域第一类曲面积分例所围成的空间立体的表面.对称性16(左右两片投影相同)将投影域选在注分成左、右两片第一类曲面积分对称性17计算其中Σ为球面之位于平面练习因曲面Σ于是x3是x的奇函数，x2y是y的奇函数.关于yO

4、z面及xOz面对称;解曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域18Σ第一类曲面积分19第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的概念第一类曲面积分四、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为二重积分计算;曲面方程三种形式的计算公式20思考题定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分可统一表示为是非题是第一类曲面积分21作业习题9-4(146页)2.3.第一类曲面积分22