曲线积分有曲面积分(II)

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1、第11.3节对弧长的曲线积分一.概念与性质二.计算法三、应用第一节对弧长的曲线积分一.对弧长的曲线积分的概念与性质引例非均匀曲线形构件的质量xyoABL设点处的线密度为(1)将曲线L任意分割成n小段，每一小段依次记为（同时表示小弧段的长度）用点将L任意分割成n个小弧段,设第个小弧段的长度为任取点记若极限存在,定义设L为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数在L上有界.则称此极限值为函数在曲线弧L上对弧长的曲线积分.记作即被积函数注①第一类曲线积分。L积分弧段.②③④无方向性性质二.对弧长曲线积分的计算法定理设曲线L的方程为若曲线L由方程给出,则若曲线L由方程给出,则若空间曲线

2、由参数方程给出,注1、下限小于上限.推广：注2、把曲线的方程带入曲线积分例1计算的一段弧.oxy(1,1)解例2将曲线L化为参数式方程:解xyo例3计算所围区域的整个边界.xyo(1,1)1解例4计算为顶点的三角形周界.解oABxy例5计算其中L为螺旋线解三、类似于二、三重积分中求薄片及物体的重心和转动惯量，则L的重心和对x轴及y轴的转动惯量分别为：设xoy面上的曲线弧L在点(x,y)处的线密度为静距为：曲线弧的的质量为：L对x轴及y轴转动惯量分别为：设空间上的的曲线弧在点(x,y,z)处的线密度为的重心和对x轴、y轴及z轴的转动惯量分别为：则推广：静距为：L对x轴、y

3、轴及z轴的转动惯量分别为：曲线弧的的质量为：例6计算半径为R,中心角为的圆弧L的重心及对于其对称轴的转动惯量建立坐标系如右图所示:xyoRLL的参数式方程为:(1)重心:由对称性知解第11.4节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质yxozS二、对面积的曲面积分的计算法第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质引例曲面形构件的质量.yxozS1).将曲面S任意分割成n小块:(也表其面积)2).任取点3).作和4).取极限.令设函数在光滑曲面上有界,任取点作记,若极限存在,则称此极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分(或第一类曲面积分).记作即若为封闭

4、曲面,记作当性质具有与对弧长的曲线积分相似的性质.定义(同时用表示第小块曲面的面积);任意分割成n小把块二、对面积的曲面积分的计算法定理设光滑曲面则xyz函数上连续，上有一阶连续偏导.在二重积分的中值定理若若解xyz计算截出的顶部.例1例2计算之间的部分.zxy解例3计算所围四面体的整个边界曲面.设xyo11xyz解解(因关于x轴对称)xyz例4所截得部分.例5其中是界于平面之间的圆柱面解xyzRh