【培优练习】《三角形内角和定理》（数学北师大八上）

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1、《三角形内角和定理》培优练习1．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB．2．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．3．如图，已知AB∥DE，点C是BE上的一点，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求证：AC⊥CD．4．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C．（1）若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX的大小是

2、多少？（2）若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX+∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．5已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．答案和解析【解析】1.解：【考点】方向角．【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°，∵∠EAC=1

3、5°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°．【点评】本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．2.解：【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】先在△ABC中根据三角形内角和定理计算出∠BAC=84°，再根据角平分线定义得到∠DAC=∠BAC=42°，接着根据垂直的定义得到∠AEC=90

4、°，则在△AEC中根据三角形内角和定理可计算出∠EAC=90°﹣∠C=24°，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣66°=84°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=42°，∵AE⊥BC于E，∴∠AEC=90°，∴∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣66°=24°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=42°﹣24°=18°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．准确识别图形

5、，即在哪个三角形中运用内角和定理是解题的关键．3.解：【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】由平行线的性质得出同旁内角互补∠B+∠E=180°，由三角形内角和定理和已知条件得出∠ACB+∠DCE=90°，得出∠ACD=90°，即可得出结论．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B+∠E=180°，∵∠B+∠A+∠BCA=180°，∠E+∠D+∠DCE=180°，∴，∠A+∠BCA+∠D+∠DCE=180°，∵∠A=∠BCA，∠D=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=90°，∴∠ACD=90°，∴

6、AC⊥CD．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．4.解：【考点】三角形内角和定理．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=90°，即可得出结果；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A是一个定值，同理在△XBC中，∠BXC=90°，∠XBC+∠XCB=90°也是一个定

7、值，∠ABX+∠ACX=90°﹣∠A的值不变．【解答】解：（1）∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°，∵∠YXZ=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=150°﹣90°=60°；（2）∠ABX+∠ACX的大小没有变化；理由如下：∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠YXZ=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=180°﹣∠A﹣90°=90°﹣∠A；即∠ABX+∠ACX的大小没有变化．【点评】本题考查了三角形

8、内角和定理、直角三角形的性质；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．5.解：分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解：∵∠BAC＝120°，∴∠2＋∠3＝60°.①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2.②把②代入①，得3∠2＝60°，∴∠2＝20°.∴∠DAC＝120°－20°＝100°.点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．