信号处理与系统分析 （高政） 第9章拉普拉斯变换

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1、第九章拉普拉斯变换复指数信号通过一个LTI系统，其输出仍然为复指数信号。在前面的傅里叶变换里面取如果不加这个限制，就成了我们本章要讨论的拉普拉斯变换。法国天文学家、数学家拉普拉斯(1749-1827)是傅里叶论文的评阅人，在数学上提出了这种更加广泛的形式。事实证明拉普拉斯变换在模拟系统的分析和综合上具有优势。所谓的系统分析就是对给定系统的设计求其特征；系统综合就是给定系统的特征求系统的设计。9.1拉普拉斯变换的导出本小节我们通过复指数信号激励LTI系统的分析，导出拉普拉斯正变换，并且分析拉普拉斯变换的收敛问题。复指数信号通过LTI系统时，利用卷

2、积积分，可以得到：LTI我们定义一个从一个连续时间信号到一个复变函数的变换：这个变换称为拉普拉斯变换(LaplaceTransform)，或者简称拉氏变换。一般而言，拉氏变换是从信号到复变函数的变换。是复变函数，自变量也是复数。可以将拉氏变换看成信号的傅里叶变换。例题9.1求信号解：是一个指数衰减的信号；是一个指数增长的信号。的拉普拉斯变换。时收敛。拉普拉斯变换的解析式是一个无穷积分，这个无穷积分是存在收拉普拉斯变换存在；对于另外一些泛泛而谈一个无穷积分的收敛性是非常困难的，但是，在后面的讨论中，我们将看到，拉普拉斯变换的收敛性讨论利用了大量的

3、拉普拉斯变换的特殊性。敛性问题的。上面的例题也告诉我们，对于某些值，值，拉普拉斯变换不存在。与傅里叶变换相比，在某种程度上，拉普拉斯变换具有更加广泛的的情况，的傅里叶变换已经不存在了，但是，只要满足的拉普拉斯变换依然存在。适用性，例如，在上面的例题中，在例题9.2求信号的拉普拉斯变换。解：收敛。的拉普拉斯变换的解析式与信号是一样的，但是收敛条件不一样。在拉普拉斯变换的讨论中，我们将复数平面称为s平面。s平面上的一个点对应一个复数s这个积分也许在某些s点上收敛，在某些s点上不收敛。拉普拉斯变换在s平面的某些点上是收敛的，而在另一些点上是不收敛的，

4、s平面上的那些收敛的点组成的区域，称为该拉普拉斯变换的收敛域(ROCRegionofConvergence)。我们一般使用平面的阴影部分表示收敛域。下面是上面两个例题的收敛域ROC在s平面上的表示：ImImReRe-a-as平面s平面上面两个例题的结果是后续分析的一个基础。例题9.3求信号的拉普拉斯变换解：工程上，用得最多的是有理拉氏变换，也就是解析式形如的拉普拉斯变换，其中和均为s的多项式。许多情况下，拉普拉斯变换都会有这样的表示，当LTI系统能够用常微分方程表征时，就是如此。的根称为零点(zero)，因式分解后有项，那么称为的阶零点；有理拉

5、氏变换的解析式的分子在s平面上以“0”标示，根的阶数就是零点的阶数，例如，若的根称为极点(pole)，因式分解后有项，那么称为的阶极点；有理拉氏变换的解析式的分母在s平面上以“×”标示，根的阶数就是极点的阶数，例如，若将零点和极点在s平面上标记出来而形成的图称为零极点图(Pole-zeroplots)。ImRe××01-1-2例题9.3的零极点图和收敛域例题9.4求信号的拉普拉斯变换解：ImRe××3-129.2收敛域不同的信号的拉普拉斯变换可能出现解析式相同收敛域不同的情况。因此，收敛域也是拉普拉斯变换的一个重要属性。拉普拉斯变换的全部特征由

6、两个部分组成：ROC下面我们来分析一些收敛域的性质。性质1：ROC由平面上的平行于虚轴Im轴的带状区域组成。下面，我们考察拉氏变换的表达式，可以看出，信号的拉氏变换的收敛问题就变成了由此可见收敛与否只与s的实部也就是说，如果拉普拉斯变换在处收敛，则都收敛，这些点在S平面上，是一条垂直于实轴的直线。信号的傅里叶变换的收敛问题。有关。,性质2：对于有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。这是非常显然的，在极点处拉氏变换的解析式为无限大，不收敛。毫无疑问，有理拉氏变换在零点上是收敛的。被称为有限时宽的信号，如果，下面我们引入一些概念：被称为右边

7、信号(Right-SidedSignals)，如果，就是说，右边信号在某一个时间点之前为0。被称为左边信号(Left-SidedSignals)，如果，就是说，左边信号在某一个时间点以后为0。形式如的收敛域，被称为左边的收敛域。形式如的收敛域，被称为右边的收敛域。性质3：如果使得其拉普拉斯变换收敛，那么ROC是整个s平面。是有限时宽的信号，并且至少存在一个s值，在拉普拉斯变换的分析里面，我们将信号绝对可积，作为积分收敛的充分必要条件，即：收敛因此，信号的拉普拉斯变换收敛与否，取决于，如果收敛，，则有绝对收敛：和我们来考察处，拉氏变换收敛的情况。

8、减函数因此处，拉氏变换收敛。为减函数。增函数因此处，拉氏变换收敛。为增函数。性质4：如果是右边信号，则ROC也是右边的。我们来考察处，拉氏变换收敛的情