信号处理与系统分析 （高政） 第10章z变换

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1、第十章z变换本章介绍z变换。z变换是分析离散时间系统的有力工具，是数字控制系统、数字滤波器、数字信号处理硬件的基础。我们还会看到，离散时间系统z变换在某种程度上，与连续时间系统的拉普拉斯变换是对偶关系。z变换是离散时间傅里叶变换的一种推广。10.1z变换的导出前面我们讨论过离散时间复指数信号激励LTI系统的情况，LTI系统对离散时间复指数信号的响应仍然是复指数信号，我们可以看到，如果进行这样的变换，有可能简化离散时间系统的分析。对于一个离散时间序列，我们定义它的z变换(z-Transform)在z变换里面，为了分析方便，我们取复数的极坐标形式，即可见，离散时间傅里叶变换可以通过z平面上半径为

2、1的单位园上的z变换的确定。无穷级数必然存在收敛问题。作为无穷级数的z变换存在收敛问题和收敛域，其收敛与否只与在z的模有关。说明变换的收敛域在复平面上是环形的。例题10.1求信号的z变换。解：傅里叶变换只有在时才收敛。ReImaZ平面例题10.2求信号的z变换。解：ReImaZ平面通过上面两例题，我们可以看出，变换是由解析式和收敛域组成的。虽然两题的信号不同但是其变换的解析式是相同的，只是收敛域不同而已。例题10.3求信号的z变换。解：ReIm32××10.2z变换的收敛域这个无穷级数也许在某些z点上收敛，在某些z点上不收敛。z变换在z平面上的那些收敛的点组成的区域，称为该z变换的收敛域(R

3、OCRegionofConvergence)。我们一般使用平面的阴影部分表示收敛域。本节我们讨论收敛域及其性质。性质1：z变换的收敛域ROC是在z平面内以原点为中心的圆环。性质2：ROC内不含任何极点。下面我们先引入一些概念：有限时宽右边信号左边信号性质3：对于有限时宽的序列，其ROC为全平面，可能除开零和无穷大。在零处不收敛在无穷大处不收敛例题10.4分析信号的z变换。解：性质4：右边序列的z变换的收敛域是某个园的外部。例题10.1就是例子非因果的右边序列的z变换的收敛域不包含无穷大。性质5：左边序列的z变换的收敛域是某个园的内部。例题10.2就是例子左边序列的z变换的收敛域不包含零。性质

4、6：如果是双边序列，而且园属于收敛域，则收敛域为包含的圆环。例题10.6求信号的z变换，其中为大于零的实数。解：k=0,……,N-1××ooooooooooooooooa例题10.7求信号解：将信号分解为左边信号和右边信号，的z变换。两个收敛域没有重叠，不收敛；两个收敛域的重叠区域为一个圆环.性质7如果的z变换是有理的，那么它的ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。例题10.8分析z变换解：的收敛域的情况。××10.3z反变换取一个固定的以为半径做圆周运动。这就是z反变换式.在工程上大量应用的z变换都是有理z变换(Rationalz-Transform)，也就是可以用有理函数来表达的z变换

5、。所谓有理函数(rationalfunction)，就是能够表示为两个多项式之比的函数。本书我们将局限于有理z变换，并且利用一些现有的分析结论来计算z反变换。假设一个有理函数，有如下形式：被称为留数（Residue）。对于只存在一阶极点的情况，上面两式简化为：例题10.9求下式的z反变换解：例题10.10如果例题10.9的收敛域改为求其z反变换。解：例题10.11如果例题10.9的收敛域改为求其z反变换。解：是一个幂级数。如果我们能够将解析式幂级数的系数就是进行幂级数展开，例题10.12求下式的z反变换解：长除法是一种幂级数展开的方法，下面我们用长除法来求z反变换。例题10.13求z变换的反

6、变换。右边序列1……10.4z变换的Matlab分析对于一些复杂的z变换，手工计算将无能为力。工程计算类软件Matlab对于有理z变换，提供了相应的函数。下面我们用Matlab的方法进行有理z反变换。在Matlab里面一个多项式（降幂排列）用一个向量表示，例如：b=[1.0000-0.58330.0833]函数roots用于求多项式的根；相对地，函数poly通过多项式的根求多项式本身。a=roots(b)和b=poly(a)对于例题10.8，Matlab的结果如下：在一阶极点的情况下：函数residuez可以求一个有理z变换的部分分式展开，［RPK］=residuez(b,a)对于例题10.

7、8我们用Matlab进行计算比较对于多阶极点的情况，P(j)=...=P(j+m-1)，在展开式里面，有如下形式：下面我们来考虑：Matlab可以对有理变换进行平面分析。对于例题10.7我们进行平面分析：b=1;zplane(b,poly([1/31/2]));说明在原点处存在一个二阶零点，1/2和1/3处分别存在一个极点。当然对于简单的计算，Matlab的优势并不明显，然而在复杂的工程计算中，Matlab的