数字信号处理z变换

《数字信号处理z变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、Z变换1连续时间系统的复频域分析——拉普拉斯变换傅里叶变换对一些不满足绝对可积条件的常用信号如等，虽然其傅里叶变换存在，但带有冲激项处理不方便，尤其用傅里叶变换分析系统响应时，系统初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响应，另外，其反变换的积分计算也不易。我们希望有一种能扬长避短的新变换。而拉普拉斯变换的优点一是对信号要求不高一般指数阶信号的变换存在且简单；不但能将时域的卷积运算转变为代数运算，而且既能求系统的零状态响应，也能求系统的零输入响应(初始条件“自动”引入)有相对简单的反变换方法。所以拉普拉斯变换也是分析连续系统的重要数学工具，英文缩写

2、为LT1.1拉普拉斯变换考虑到一般实际应用的信号多为因果信号，因果信号的拉普拉斯变换也称单边拉普拉斯变换。1)单边拉普拉斯变换因果信号的傅里叶正、反变换为式中为收敛(衰减)因子，使满足绝对可积条件。则：傅里叶变换对于一些指数阶的函数处理不方便，主要原因是这类函数不收敛，例如阶跃函数,为了使函数收敛，我们在进行变换时让原函数乘以，使得是一个收敛速度足够快的函数。即：令则：的傅里叶反变换为：两边同乘，不是的函数，可放入积分号里，由此得到：已知选定为常量，所以代人上式且积分上下限也做相应改变，上式可写作：式中称为复频率，为象函数，为原函数。可以用直角坐标的复平

3、面(s平面)表示，是实轴，是虚轴可知傅里叶变换的基本信号元是拉普拉斯变换的基本信号元是不难表明傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系：傅里叶变换是在虚轴上()的拉普拉斯变换；拉普拉斯变换是傅里叶变换在s平面的推广。2)单边拉普拉斯变换收敛区收敛区是使满足可积的取值范围，或是使的单边拉普拉斯变换存在的取值范围。因为的作用，使得在一定条件下收敛，即有：叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过并与虚轴平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦确定，的拉普拉斯变换的收敛区就确定了。满足此式的函数称为指数阶函数。x(t)随时间衰减，收敛区包含虚轴，

4、函数的傅里叶变换存在；x(t)随时间增长，收敛区不包含虚轴，函数的傅里叶变换不存在；x(t)幅度不变，收敛区不包含虚轴，函数的傅里叶变换存在，但存在冲激项根据x(t)随时间变化给出收敛区的大致范围a)b)c)求象函数的方法：当拉普拉斯变换的收敛域包括轴，可由直接得到，仅将换为s，即：例1已知和，求f(t)拉普拉斯变换收敛域如图a),包括虚轴例2求t的指数函数,(a为任意常数)的拉普拉斯变换1.2z变换的定义离散时间信号的z变换和连续时间信号的拉普拉斯变换是相互对应的，引入z变换的主要原因是傅里叶变换不是对所有序列都收敛，能有一个包括更广泛信号的傅里叶变换

5、的推广形式的有用的。z变换把描述离散系统的差分方程，变换成代数方程，使其求解过程得到简化。这一作用类似连续时间系统的拉普拉斯变换。z变换的定义任意序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）可以表示为：其反变换为据此，序列的z变换定义为：此式一般是一个无穷项的和或者无穷项幂级数，其中z是复变量。也可把它看成一个算子，它将一个序列变换成为一个函数，即将序列变换为函数，z是一个连续复变量。这称为双边z变换，而与此相对应的单边z变换的定义为：显然，仅当时，双边和单边z变换才相等。由拉普拉斯变换到z变换是由连续信号x(t)经抽样得到的取拉普拉斯变换令，将采样周期Ts归一

6、化为1，简记为与z变换的定义一致拉普拉斯复变量，对应连续系统及连续信号的角频率，单位是弧度/秒令则对应离散系统和离散信号的圆周频率，单位是弧度只要绝对可和，即：x(n)的z变换存在序列的z变换看成是和指数序列相乘后的傅里叶变换。比较离散时间傅里叶变换和z变换的定义，若令：则z变换就蜕化为离散时间傅里叶变换，即变成因为当序列的傅里叶变换存在时，它就是的。r=1时由于z变换是复变量的函数，因此利用复数z平面来描述和阐明z变换是方便的。在z平面，的围线就是半径为1的圆，称为单位圆。z变换在单位圆上的求值就是傅里叶变换，是单位圆上的某一点z的矢量与复平面实轴的夹

7、角。z变换与拉氏变换的关系的闭合形式通过上面分析给出复变量s和复变量z的对应关系，也给出s平面到z平面的映射规律s平面上的复变量s是直角坐标，z平面上的复变量z是极坐标s平面上的轴对应单位圆（）拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，s平面的左半面，对应,单位圆内，s平面的右半面，对应,单位圆外z变换与拉氏变换的映射关系z变换与拉氏变换的映射关系z变换与拉氏变换的映射关系z变换与拉氏变换的映射关系z变换与拉氏变换的映射关系傅里叶变换在频率上固有的周期性就自然得到了，因为在z平面上弧度的改变相当于绕单位圆一次，然后又重新回到原来的同一点上来。s平面到z平面的映射不是

8、单一的f在虚轴上变化每间隔，在范围变化称为归一化频率1.3典型序列的z变换1.4