信号处理与系统分析 （高政） 第3章傅里叶级数

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1、第3章傅里叶级数卷积方法的基本出发点是，将信号分解为单位冲激信号的移位加权和或者加权积分。我们可以看出，将任意信号分解为基本信号的组合，往往是分析信号与系统的前提。本章将介绍信号的另一种分解方式，即傅里叶分解，并且进而引入频谱的概念。前面两章中，我们以分析信号的时间函数的方式，来分析信号，这种分析方法被称为时域(timedomain)方法。傅里叶方法帮助我们使用信号的频率分量来分析信号，这种方法被称为频域(frequencydomain)方法。我们将看到，在频域上来刻画LTI系统对信号实施的变换，将会使分析变得相当简单。频域方法是一类重要的系统与信号的分析方

2、法，除用于LTI系统的分析以外，它还适用于更广泛的系统分析，或者仅仅分析信号本身。傅里叶分解的基本出发点是将信号分解为复指数信号的加权和，或者积分。复指数信号的物理背景就是正弦信号。在电路分析等课程中，我们对正弦信号已经有了足够的了解。人们很早就意识到，正弦振荡是各种振荡的基本形式，这正是傅里叶分解的真正基础。傅里叶分析帮助我们从时域的分析方法转变到频域的分析方法。工程上，频域方法具有更加广泛的应用，是一种常用的信号分析方法。3.1傅立叶分析引论在介绍周期信号的傅里叶分解之前，我们先讨论一下LTI系统对典型正弦信号和复指数信号的响应。在电路分析里面，我们知道

3、线性时不变系统在正弦信号的激励下，其响应仍然是同频率的正弦信号，只是在幅度和相位上有所变化。LTILTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号同频率复指数信号激励LTI系统的情况。LTI?只取决于s和系统的参数LTILTI系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号系统函数传递函数如果我们能将信号分解成为复指数信号的加权和完全说明了LTI系统的变换规律可以针对输入信号的复指数分解,求得LTI系统的输出响应。在傅里叶分析里面，我们将上述复数s限定为纯虚数由此导出的方法称为傅里叶(Fourier)方法；傅里叶方法是以法国数学家,物理学家傅里叶(1768-1830)的名

4、字命名的。由此导出的一套方法称为拉普拉斯方法，在第九章里面讨论。如果不对复数s进行限定，即3.2连续时间周期信号的傅里叶级数展开在工程实际中，并不存在复指数信号。复指数信号的物理背景是正弦信号。只是为了简化数学推导和方便运算，我们才引入了复指数信号这样一种数学工具.复指数信号和正弦信号到底是一种什么关系呢？这是本节首先要解决的问题。3.2.1谐波复指数信号集成谐波关系的复指数信号集如果一个以为周期的周期信号满足，存在一个傅里叶级数的表达。傅里叶级数分解傅里叶级数展开k次谐波分量直流分量基波分量……谐波合成……在信号中所占的比重欧拉公式例题3.1将下面的复指数

5、信号的线性组合变换为正弦信号的线性组合，其中，解：和表示了频率为的正弦信号的权重。直流分量基波分量三次谐波分量二次谐波分量物理上存在的信号都是实信号。下面讨论信号为实函数的情况。因此，严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。3.2.2傅里叶级数系数的确定正交函数集T的周期函数正交函数集的概念正交函数集？周期函数的一个基本性质。一个以T为周期的周期函数在一段长度为T的区间上的积分，与起始位置无关正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等对于高次谐波而言，无非是在一个周期之内，上波瓣和下波瓣多了一些，但是上波瓣的总面积和下波瓣的总面积还是相等的，构成了一个正交函数集

6、。复指数函数集如果可以分解，利用正交性来求傅里叶级数的系数傅里叶级数分析公式傅里叶级数综合公式频率分量在信号中所占的比重频谱系数一个特殊的频率分量信号的均值直流分量例题3.2试确定的傅里叶级数解：根据欧拉公式，例题3.3试确定周期方波信号的傅里叶级数解：根据傅里叶级数分析公式，避免被零除3.3傅里叶级数的收敛问题复指数信号是连续的，而任意信号却不一定。什么样的信号可以展开成傅里叶级数？有限多个连续函数累加起来仍然是连续函数，而无限多个连续函数累加起来是否可以收敛到一个不连续函数？这就成了法国学者傅里叶与其同时代的其他学者争论的焦点。每一项都是连续函数不一定是

7、连续函数傅里叶认为，周期信号无论连续与否都可以表示为傅里叶级数.但后来的许多学术的发展证明了傅里叶当初的论断至少在数学上是不严密的。从数学上来讲，无穷级数的收敛是有条件的。如果级数不收敛，那么级数的表示也是不成立的。在傅里叶级数的收敛性研究方面，狄利赫利等人卓有成效的工作完善了傅里叶分析方法，给出了傅里叶级数的收敛条件。由于收敛条件的证明过于专业化，不便在本书中展开详细讨论。本节只是给出了这些收敛条件的理论结论。讨论傅里叶级数的收敛问题，所采用的收敛准则是误差平方和准则，又称为误差能量准则。在工程上，不可能用无穷多项级数来表述信号，一般只能用有限项级数的谐波

8、合成来表达信号，即：近似的误差误差信号的能量能量的角