周期信号傅里叶级数

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1、第四章周期信号的傅里叶级数表示连续周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析常见连续时间周期信号的频谱常见离散时间周期信号的频谱将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合(1)从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。(2)从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。意义：周期信号的频域分析连续时间周期信号的频域分析连续时间周期信号的傅立叶级数表示连续时间周期信号的频谱

2、及其特点连续时间傅里叶级数的基本性质连续时间周期信号的功率谱傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何？周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”中傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都？可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点1.周期信号展开为傅立叶级数条件周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)绝对可积，即满足(2)在一个周期内

3、只有有限个不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。傅立叶级数收敛条件注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件；条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。狄里赫利一、连续时间周期信号的傅立叶级数表示2.指数形式傅立叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中（傅立叶系数）n=kn不等于k2.指数形式傅立叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N

4、次谐波分量物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。（傅立叶系数）连续时间傅里叶级数对：综合公式（反变换）分析公式（正变换）称为傅里叶系数或频谱系数若f(t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以b0=0，故3.三角形式傅立叶级数由此可以推出：傅里叶系数连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：三角形式傅立叶级数纯余弦形式傅立叶级数称为信号的直流分量，Ancos(n0+n)称为信号的n次谐波分量。其中解:该周期信号f(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅

5、里叶级数展开式。因此，周期方波信号的指数形式傅里叶级数展开式为例题1试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式。可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为若=T/2，则有由例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解:该周期信号f(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为由周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为例3求Cn。解:根据指数形式傅里叶级数的定

6、义可得1.线性特性2.时移特性二、傅里叶级数的基本性质Why？注意：强调f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号证明：令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得3.卷积性质（重点）(1)若f(t)为实信号若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且4.微分特性5.对称特性5.对称特性(2)纵轴对称信号（偶对称）fT(t)=fT(-t)纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。(3)原点对称信号（奇对称）fT(t)=-fT(-t)原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项。(4)半波重迭信

7、号fT(t)=f(t±T/2)半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。(5)半波镜像信号fT(t)=-f(t±T/2)半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性例4求图示周期信号f(t)的傅里叶级数f(t)=f1(t)-f2(t)说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性，也有某些信号波形可以由我

8、们熟悉的基本信号的波形进行简单的计算得到。因此，我们可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的计算。教材P147例3.6、例3.7三、周期信号的频谱及其特点周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。不同的时域信号，只是傅