周期信号的傅里叶级数(I)

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1、邬晓红信号与系统1.LTI系统对复指数信号的响应(Ch.3.1)2.连续时间周期信号的傅立叶级数表示(Ch.3.2)3.收敛性和吉伯斯现象(Ch.3.3)4.傅立叶级数与LTI系统(Ch.3.8)5.滤波(Ch.3.9)第三章周期信号的傅立叶级数表示(FourierSeriesRepresentationofPeriodicSignals)2傅里叶(1768—1830)周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和。非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示。最重要的两个贡献：3第三章傅立叶级数3.1LTI系统对复

2、指数信号的响应TheResponseofLTISystemstoComplexExponentials时域基本信号单元单位：脉冲和单位冲击信号本章所关心的基本信号单元是：LTI系统的特征函数(Eigenfunctions)。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：4一.连续时间LTI系统：其中：S复变量上式为的拉普拉斯变换证明：LTI5对固定值的特征值系统的特征函数注：若则如果：因：输入输出6输入输出则：7二.离散

3、时间系统：LTI其中：复变量上式为的变换证明：8系统特征值（对固定值）系统特征函数注：若则如果：输入输出因为9§3.2连续时间周期信号的傅里叶级数表示一.成谐波关系的复指数信号的线性组合：1.周期信号基波周期基波频率令：为一组成谐波关系的复指数信号，频率为整数倍任意连续周期信号傅里叶级数（FS)FS系数102.对周期信号且：为周期实信号令令（2）（1）由（1）（2）或共轭对称113.傅里叶级数的三角函数表示（实信号）设为周期实信号12（1）令≮（2）令13二.连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定：1.令（1）对14（

4、2）对1516则：傅里叶级数公式称为傅里叶系数或的频谱系数可表示为：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。17例3.1：对连续时间周期信号确定其傅里叶级数的系数解：18第三章傅立叶级数其中例3.2已知一周期方波信号见下图，求的傅里叶级数19第三章傅立叶级数3.2连续时间周期信号的傅立叶级数表示根据可绘出的频谱图。称为占空比20第三章傅立叶级数3.2连续时间周期信号的傅立叶级数表示不变时21第三章傅立叶级数3.2连续时间周期信号的傅立叶级数表示不变时22第三章傅立叶级数

5、3.2连续时间周期信号的傅立叶级数表示周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.离散性2.谐波性3.收敛性考查周期和脉冲宽度改变时频谱的变化：当不变，改变时，随使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.当改变，不变时，随使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。23第三章傅立叶级数3.3连续时间傅立叶级数的收敛§3.3傅里叶级数的收敛，在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。在任何

6、有限区间内，只有有限个第一类间断点。因此，信号绝对可积就保证了的存在。24第三章傅立叶级数3.3连续时间傅立叶级数的收敛几个不满足Dirichlet条件的信号25第三章傅立叶级数3.3连续时间傅立叶级数的收敛二.Gibbs现象26第三章傅立叶级数3.3连续时间傅立叶级数的收敛用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。27§3.4连续时间傅里叶级数性质一.线性性：若,

7、是两个周期T的周期信号：则：二.时移性：若则（自证）28三.反折：若则证：令29四.尺度变换:如果的周期为Ｔ，则的周期为且五.乘积特性：若周期为T则：六.共轭与共轭对称性：若则30实信号证：令31七.微分性:若则证：得证32例3.3确定下列信号的傅里叶级数系数33解1：在例3.2中令34由上图，在例3.2中，令得35其中：令要使上等式成立，有：36372.令38八.帕斯瓦尔定理说明：一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和。39§3.5离散时间周期信号的傅里叶级数表示（DFS)周期信号：是周期40§

8、3.6FS和LTI系统已知：其中：为复数系统函数取则其中：频响41即：输入输出令即傅里叶级数：42例3.4已知求：43解：其它4445§3.7滤波一.频率成形滤波器：用于改变各频谱分量的相对大小。如：微分滤波器令且（1）（2）由（1）（2）4647第三章傅立叶级数微分滤波器在一幅图象上的效果(边缘增晰)48第三章傅立叶级数二.频率选择滤波器：(