周期信号的傅里叶级数

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1、引言时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；而本章将以正弦信号和虚指数信号为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。第三章傅立叶变换频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念

2、。本章主要内容周期信号的傅立叶级数非周期信号的傅立叶变换傅立叶变换的基本性质周期信号和抽样信号的傅立叶变换一种变换域分析方法，其它变换方法的基础；快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛预备知识:完备的正交函数集信号分解：常用完备正交函数集：i)三角函数集：ii)复指数函数集：3.1周期信号的傅立叶级数一、三角形式的傅立叶级数是区间上的一个完备正交函数集，周期①②满足一定条件的任一函数在区间都可描述为：f(t)1．任意信号的三角形式傅立叶级数展开3.1周期信号的傅立叶级数ii)iii)i)为的偶函数为的奇函数2．对于周期函数，由于积分值与积分区间起始点无关(只要积分区间大小为T1

3、)，故在均可以展成傅立叶级数3．存在的充分非必要条件：狄利克雷条件②一周期内③一周期内绝对可积，即①一周期内间断点有限个；极值有限个；4．其它三角形式ii)iii)iv)i)为的偶函数为的奇函数v)基波分量：对应的vi)奇次谐波分量：对应的vii)偶次谐波分量：对应的viii)直流分量：c05．周期信号的离散谱ii)相位(频)谱:i)幅度(频)谱:谱线，包络线特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散(频)谱二、指数形式的傅立叶级数②上的完备正交函数集，周期①1．任意信号的指数傅立叶级数展开2．周期函数积分值与无关(只要积分区间大小为T1)，故在有①3．与的关系②i)ii)iii

4、)4．幅度谱：，相位谱：实傅立叶级数的特点：ii)为奇函数为偶函数i)为实数时，的正负表示的0和π，幅度谱和相位谱画到一张图上5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半；只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。理解：三、函数对称性与傅立叶系数关系①②③1．偶函数Ef(t)t偶函数只含直流项和余弦项E[例1]：周期矩形脉冲：只含直流项与余弦项谱线间隔零值点频率指数形式：频带宽度概念：周期脉冲信号包含无穷多条谱线，即可分解为无穷多个频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内，常把这段频率范围称为矩形脉冲

5、信号的频带宽度Bf与τ成反比关系若T1不变，τ减小一半谱线间隔只与周期T1有关，且与T1成反比；零值点频率只与τ有关，且与τ成反比；而谱线幅度与T1和τ都有关系，且与T1成反比与τ成正比。若τ不变，T1扩大一倍周期T1越大，谱线间隔越小（密集）2．奇函数①②③f(t)t0奇函数只含正弦项[例2]：周期锯齿波只含正弦项f(t)E/2-E/2t03．奇谐函数：①②半周期对称0i)当时，ii)当时，③同理ii)当时，时，i)当奇谐函数只含基波和奇次谐波的正弦和余弦项[例3]：含直流的周期锯齿波：4．去直流后为奇函数为奇函数：只含正弦项，则只含直流和正弦项t0t05．去直流后为奇谐函数

6、为奇谐函数：含直流、基波和奇次谐波A0[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次谐波f(t)6．偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量t00[例5]：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。7．奇函数&奇谐函数：只含基波、奇次谐波的正弦分量-11tf(t)08．偶谐函数：②①不一定为0f(t)t0i)当时,ii)当时,ii)当时,时,i)当③同理偶谐函数只含直流和偶次谐波的正弦和余弦项9．偶函数&偶谐函数：只含直流和偶次谐波的余弦分量f(t)t010．奇函数&偶谐函数：只含偶次谐波的正弦项011．半波余弦、半波正弦类[例6]：①全波整流：只含直流、余弦分量0E规律收敛②半波整

7、流：只含直流、基波和偶次谐波余弦分量0E规律收敛四、功率特性，有限级数，最小方均误差功率特性①②：直流功率④称之为帕塞瓦尔方程：交流功率③时域和频域的能量守恒：周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开各谐波分量有效值平方和其中的交流功率为,有效值为2.有限级数及最小方均误差②最小方均误差①有限级数的由来：[例7]：对称方波②③ii)变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部解：①i)项数越多，误差越小，④P993.吉布斯现象N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约