信号课件--42傅里叶级数

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1、§4.2傅里叶级数傅里叶级数的三角形式波形的对称性与谐波特性傅里叶级数的指数形式周期信号的功率——Parseval等式一、傅里叶级数的三角形式1.三角函数集在一个周期内是一个完备的正交函数集。由积分可知{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}2．级数形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数系数an,bn称为傅里叶系数可见，an是n的偶函数，bn是n的奇函数。其他形式式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分

2、量A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为二、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。例3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2

3、=…=b2=b4=…=04．f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。系数Fn称为复傅里叶系数利用cosx=(ejx+e–jx)/2可从三角形式推出：推导虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}傅里叶系数之间关系n的偶函数：an，An，

4、Fn

5、n的奇函数:bn，n四、周期信号的功率——Parseval等式直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。

6、n≥0时，

7、Fn

8、=An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。证明