北邮 电路与信号 第8章 拉普拉斯变换.ppt

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1、第八章连续时间系统的拉普拉斯变换分析法1目录单边拉氏变换的性质8-4引言8-1拉普拉斯变换的定义8-2典型信号的拉氏变换8-3拉普拉斯反变换8-5连续时间LTI系统的复频域分析8-62H(s)的零极点分布与时域特性h(t)的关系8-9电路的复频域分析法8-7系统函数H(s)8-838-1引言在十九世纪末，英国工程师亥维赛德（O.Heaviside1850~1925）发明了“运算法”（算子法）。解决电工程计算中遇到的一些基本问题。法国数学家拉普拉斯（P.C.Laplac，1749~1825年）的著作中为亥维赛德运

2、算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）。拉普拉斯变换方法在电学，控制理论等众多的工程和科学领域中得到广泛应用。48-1-2复频域分析法以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，傅里叶变换的不足之处：傅里叶变换只能处理符合绝对可积（）条件的信号，而很多重要信号，如周期信号、阶跃信号和直流信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制。5复频域分析法的核心问题是运用拉普拉斯变换（简称拉氏变换）对系统进行分析，研究系统的传输函数（

3、又称系统函数），系统的时域特性，频率特性和系统稳定性等诸多重要问题。它在通信与控制领域至少有以下几个方面的应用：简化线性微分方程求解，也即简化电路分析的时域求解。建立系统函数，由求H(s)。由H(s)零、极点求系统频响特性。由H(s)零、极点研究系统稳定性，分析反馈系统性能。68-2-1从傅立叶变换导出拉氏变换信号，乘以衰减因子（为任意实数）后，很容易满足绝对可积条件。根据傅里叶变换定义：令，具有频率的量纲，称为复频率。7将上式于傅立叶变换定义式比较，可写作取傅立叶反变换等式的两边都乘以，则时间信号可表示为令则

4、，可得8（8-1）（8-2）（8-3）（8-3）式是信号的双边拉氏变换，称是的象函数。（8-2）式是的拉氏逆变换，称是的原函数。这两个积分式可简单记作9是一对拉氏变换对在实际应用中，经常遇到的时间信号大多数是有起因信号，即式称为信号的单边拉氏变换。8-2-2拉氏变换的收敛域时间信号的单边拉氏变换为若变换式存在，则是被积函数为收敛函数，即收敛域（ROC）：使F(s)存在的的区域称为收敛域。要满足10收敛域的表示法【例题8-1】时间信号（）是单边信号，位于的区间，故称其为右边信号，求其收敛域。解：11即时，存在RO

5、C：ROC【例题8-2】（）为增长的单边指数信号，求其收敛域。解：即时，存在12ROC：【例题8-3】（），求其收敛域。解：13即时，存在ROC：例题【8-3】是左边信号的拉氏变换，而例题【8-2】是右边信号的拉氏变换，两个不同的时间信号具有相同形式的拉氏变换，有同一个收敛坐标点，但是，使它们的拉氏变换存在的条件，即所在区域却截然不同。由此可以看出，如果已知象函数F(s)，必须要连同它的ROC一起，才能唯一的确定相应的时间信号f(t)。由于我们研究的信号，大都是在t为正值的范围，所以本书只研究的单边信号的拉氏变

6、换，因此不用写收敛域。14【例题8-4】，求其收敛域。解：在t<0区间在t>0区间欲存在拉氏变换，必须满足15时，即ROC：时，即【例题8-5】，求其收敛域。解：本身是一个有限积分式，其ROC为整个s平面。168-3典型信号的拉氏变换178-4单边拉氏变换的性质185、时域微分性质若则证明：8-4单边拉氏变换的性质时域微分性质若则证明：对拉氏变换定义式1920反复运用上述的证明过程，可推广至高阶导数常常用到的情况，即时域卷积定理21若，则有8-5拉普拉斯反变换由象函数求原函数的三种方法(1)部分分式法(2)利用

7、留数定理——围线积分法(3)数值计算方法——利用计算机228-5-1部分分式法23ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点拉氏逆变换的过程部分分式展开法(m

8、知某系统的输入—输出关系，其系统方程为29解：根据拉氏变换的微分性质和积分性质，对系统方程取拉氏变换，得30整理后，得到响应的拉氏变换式为31再求零输入响应系统的全响应328-8n阶微分方程的一般形式为33假定系统处于零状态，激励信号为起因信号，即34定义系统函数根据拉氏变换的卷积定理同样可得到358-9H(s)的零极点分布与时域特性h(t)的关系冲激响应h(t)与系统函数H(s)从时