《(最新)导数的概念及运算(文)》

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1、导数的概念及运算一、复习目标了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义、掌握函数y=xn(nN*)的导数公式、会求多项式函数的导数.二、重点解析导数的几何意义是曲线的切线的斜率,导数的物理意义是某时刻的瞬时速度.无限逼近的极限思想是建立导数概念,用导数定义求函数的导数的基本思想.导数的定义:利用定义求导数的步骤:(1)求y;xy(2)求;xy(3)取极限得f(x)=lim.x0f(x)=lim.xf(x+x)-f(x)x0三、知识要点对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Dx,那么函数y相应的有增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0),比值叫做函数y=f

2、(x)在x0到x0+Dx之间的平均变化率,即=.xyxyxf(x0+x)-f(x0)xy如果当Dx0时,有极限,就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作:f(x0)或y

3、x=x0,即:xf(x0+x)-f(x0)f(x0)=lim=lim.x0xyx0函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即:k=tan=f(x0).2.导数的意义(1)几何意义:(2)物理意义:函数S=s(t)在点t0处的导数s(t0),就是当物体的运动

4、方程为S=s(t)时,物体运动在时刻t0时的瞬时速度v,即:v=s(t0).1.导数的概念3.几种常见函数的导数(1)c=0(c为常数),(xn)=nxn-1(nQ);4.如果f(x),g(x)有导数,那么:[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x),[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x),[cf(x)]=cf(x).典型例题1解:(1)∵y=3x3+6x,∴y=(3x3)+(6x)求下列函数的导数:(1)y=3x(x2+2);(2)y=(2+x3)2;(2)∵y=4+4x3+x6,(3)y=(x-1)(2x2+1);(4)y=(2x2+3)(3x-2).

5、=9x2+6.∴y=4+(4x3)+(x6)=12x2+6x5.(3)∵y=2x3-2x2+x-1,∴y=6x2-4x+1.(4)∵y=6x3-4x2+9x-6,∴y=18x2-8x+9.典型例题2已知f(x)的导数f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且f(0)=2a,若a≥2,求不等式f(x)<0的解集.解:∵f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,∴可设f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.∵f(0)=2a,∴b=2a.∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a=x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+

6、1)(x-2)(x-a)令(x+1)(x-2)(x-a)<0,由于a≥2,则当a=2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1);当a>2时,不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(2,a).典型例题3已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.解:由已知直线l过原点且其斜率k=,x0y0∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=x03-3x02+2x0.∴=x02-3x0+2.x0y0又y=3x2-6x+2,∴在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y

7、x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6

8、x0+2.整理得2x02-3x0=0.解得x0=(∵x00).32这时y0=-,k=-.3814∴直线l的方程为y=-x,14切点坐标是(,-).3832注有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义.曲线C在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.典型例题4求曲线y=2-x2与y=x3-2的交点处切线的夹角(用弧度数作答).1214解:由y=2-x2与y=x3-2联立方程组解得交点坐标为P(2,0).1214∵y=2-x2的导函数为y=-x,12∴它在P处的切线斜率k1=-2,同理,曲线y=x3-2在P处的切线斜率k2

9、=3,14由夹角公式tan=

10、

11、=1得k2-k11+k2k14=.故两曲线的交点处切线的夹角为.4典型例题5求曲线y=x3+3x2-5过点M(1,-1)的切线方程.解:由y=x3+3x2-5知y=3x2+6x,设切点为P(x0,y0),则y

12、x=x0=3x02+6x0,曲线在点P处的切线方程为y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切线过点M(1,-1),∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),