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1、第一节导数的概念及运算基础梳理数量化视觉化1.函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率(1)函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若Δx无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(
2、x)上点.处的.相应地，切线方程为.3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的而，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.切线的斜率变化变化f′(x).原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f′(x)=.f(x)=Cf′(x)=.f(x)=xf′(x)=.f(x)=x2f′(x)=.f(x)=x3f′(x)=..f(x)=.f(x)=xa(a为常数)f(x)=ax(a＞0且a≠1)4.基本初等函数的导数公式f′(x)=.f′(x)
3、=.k012xf(x)=logax(a＞0且a≠1).f(x)=f′(x)=.f(x)=lnx.f(x)=sinxf′(x)=.f(x)=cosxf′(x)=.cosxsinx5.导数运算法则(1)［f(x)±g(x)］′=;(2)［Cf(x)］′=(C为常数);(3)［f(x)·g(x)］′=;f′(x)±g′(x)Cf′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)典例分析题型一利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解∵∴当Δx无限趋近于0时，趋近
4、于2,∴y′
5、x=1=2.学后反思利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对ΔyΔx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f′(x).举一反三1.已知，利用定义求y′,y′
6、x=1.题型二利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.解析分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解(1)y′=()′sinx+·(sinx)′=2xsinx+x2cosx.(2)举一反三2.求函数的导数.题型三导数的物理
7、意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.解析分析第（1）问可利用公式求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.解(1)质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s′(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的
8、切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题举一反三3.以初速度作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,求物体在时刻时的瞬时速度.解析：∴物体在时刻的瞬时速度为.题型四导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的
9、切线方程.分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f′(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解（1)∵y′=x2,………………………………………………2′∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′
10、x=2=4,………………………3′∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0……………………………………………………………….4′(2)设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y′
11、x=x0=x20………………….…6′∴切线方程为即
12、∵点P（2，4）在切线上，∴即x30-3x20+4=0,∴x30+x20-4x20+4=0,∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,……………………………….12′故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0………………………….14′学后反思（1）解
