导数的概念及其运算

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1、3.1导数的概念及其运算一、选择题1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝(　　)A．－1B．－2C．1D．2解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.答案：B2.设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则()A．2B．C．D.答案　B3．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)．A．e2B．eC.D．ln2解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，

2、即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.答案　B4．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)A．－B．0C.D．5解析因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B.答案B5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)等于

3、(　　)．A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析　∵f0(x)＝sinx，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，…∴fn(x)＝fn＋4(x)，故f2012(x)＝f0(x)＝sinx，∴f2013(x)＝f′2012(x)＝cosx.答案　C6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝(　　)．A．－eB．－1C．1D．e解析　由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴

4、f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案　B7．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)．A．26B．29C．212D．215解析　函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案　C二、填空题8．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f＝________.解析　由已知：f′(x)＝f′cosx－sinx.则f′＝－1，因此f(

5、x)＝－sinx＋cosx，f＝0.答案　09.函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是_____.解析因为函数在处有极值，则f′(1)＝3+a=0，a=-3.所求切线的斜率为-3，所以切线方程为y＝-3x.答案3x+y＝010．若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析　y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.答案　(1，e)　e11．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x

6、)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.解析　∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴x＝1时，f(1)＝2f(1)－1＋8－8，∴f(1)＝1，即点(1,1)，在曲线y＝f(x)上．又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，x＝1时，f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，∴f′(1)＝2.答案　212．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2

7、012＝________.解析：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1＋f2＋…＋f2012＝f1＋f2＋f3＋f4＝0.答案：0三、解答题13．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；(3)y＝log2(2x2＋3x＋1)．解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(s

8、inx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)法一：y′＝＝＝.法二：∵y＝＝1＋，∴y′＝1′＋′，即y′＝.(3)法一：设y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝(4x＋3)＝.法二：y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′＝·(2x2＋3x＋1)′＝.14．求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n，