4.1导数的概念及其运算

《4.1导数的概念及其运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第四章导数第1讲导数的概念及其运算随堂演练巩固1.设y=－2exsinx,则y′等于A.－2excosxB.－2exsinxC.2exsinxD.－2ex(sinx+cosx)答案：D2.(2011届山东临沂高三测试)已知m<0，f(x)=mx3+,且f′(1)≥－18,则实数m等于A.－9B.－3C.3D.9答案：B解析：由于f′(x)=3mx2+,故f′(1)≥－183m+≥－18,由m<0得3m+≥－183m2+18m+27≤03(m+3)2≤0,故m=－3.3.设曲线y=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于A.2B.C.－D.－2答案：D解析：因为y′=，

2、所以切线斜率k=y′

3、x=3=－，而此切线与直线ax+y+1=0垂直，有k·(－a)=－1，因此a==－2.4.若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是____________.答案：(－∞,0)解析：f′(x)=2ax+,x∈(0,+∞).∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)=0有解，即2ax+=0在(0，+∞)上有解,∴a=－.∴a∈(－∞,0).5.已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y=x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程是____________.答案：4x－4y－1=0解析：y=x2的导数为y′=2x.设

4、切点为M(x0,y0)，则y′

5、=2x0.∵PQ的斜率k==1,又切线平行于PQ，∴k=y′

6、=2x0=1.∴x0=.∴切点M(，).∴切线方程为y－=x－,即4x－4y－1=0.课后作业夯基1.下列求导运算正确的是A.(x+)′=1+B.(log2x)′=C.(3x)′=3x·log3eD.(x2cosx)′=－2xsinx答案：B解析：(x+)′=1－;(3x)′=3xln3;(x2cosx)′=2xcosx－x2sinx.2.若曲线C：y=x3－2ax2+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于A.－2B.0C.1D.－1答案：C解析：y′=3x2－4a

7、x+2a>0,由Δ<00

8、=2x0－,∴2x0－=1.∴x0=1或x0=－(舍去).∴P(1,1).∴d==.4.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是答案：B解析：设二次函数为y=ax2+b(a<0,b>0),则y′=2ax,又∵a<0，故选B.5.曲线y=x3+x2在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面

9、积为A.B.C.D.答案：D解析：易知点T为切点，由f′(1)=2,知切线方程为y=2x－,其在两坐标轴的截距分别为，－，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S=××

10、－

11、=.6.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3－t2+2t,那么速度为零的时刻是A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末答案：D解析：∵s=t3－t2+2t,∴v=s′(t)=t2－3t+2,令v=0得t2－3t+2=0,解得t1=1,t2=2.7.已知曲线C：y=lnx－4x与直线x=1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是____________.答案：3x+y+1=0解析：由题可解得

12、P(1，－4)，则由y′=－4可得曲线C在P处的切线斜率为k=y′

13、x=1=－3,故切线方程为y－(－4)=－3(x－1)，即3x+y+1=0.8.已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，则k的最大值为____________.答案：解析：从函数图象知在直线y=kx与曲线y=lnx相切时，k取最大值，y′=(lnx)′==k,x=(k≠0),切线方程为y－ln=k(x－)，又切线过原点(0，0)，代入方程解得lnk=－1,k=.9.下列图象中，有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2－1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)=____________.答案

14、：－解析：∵f′(x)=x2+2ax+(a2－1),∴导函数y=f′(x)的图象开口向上.又∵a≠0，其图象必为第三张图.由图象特征知f′(0)=0,且－a>0,∴a=－1.故f(－1)=－－1+1=－.10.求下列函数的导数.(1)y=xcosx－sinx;(2)y=x2ex;(3)y=(+1)(－1).解：(1)∵y=xcosx－sinx,∴y′=cosx－xsinx－cosx=－xsinx.(2)