导数的概念及其运算(理

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1、§3.1导数的概念及其运算（理）知识要点梳理（注意：有下划线部分，学生用书改为空格）（一）导数的概念（1）平均变化率：函数在处的变化量与自变量的变化量的比：。（2）函数在x=x0处导数的定义：一般地，设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0的附近改变量为时，函数值的改变量为，如果趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数m，即=m,这个常数m叫做函数f(x)在点x0处的瞬时变化率.函数f(x)在点x0处的瞬时变化率又称为函数y=f(x)在x=x0处的导数。记作：或，即：。如果函数y=f(x)在x0处有导数（即导数存在），则说函数f(x)在x0处可导

2、。如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则说函数f(x)在区间（a,b）可导。（3）导函数的定义：表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f’(x0)表示一个确定的数值，即f’(x0)=。当在区间（a,b）内变化时，便是的一个函数，我们称它为在（a,b）的导函数（简称导数）。导函数有时记作，即。（二）导数的几何意义及物理意义：函数f(x)在点x0处导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(xo,f(x0))处的切线的斜率。相应的切线方程是：导数的物理意义：位移函数s=s(t)在t0处的导数是函数s=s(t)在时刻t010时的瞬时速度.

3、即。速度函数在t0处的导数是函数v=v(t)在时刻t0时的瞬时加速度。即a=v’(t0).（三）导数的运算：（1）几种常见函数(基本初等函数)的导数：（2）导数四则运算法则：①和、差的导数：②积的导数：③商的导数：()（3）复合函数的求导：a.复合函数的定义：对于两个函数和，如果通过变量u,y可以表示为x的函数，那么称这个函数为函数的复合函数。记作。其中叫做外函数，叫做内函数。b.理解复合函数的结构规律：判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内分析，最外层的函数结构是基本函数的形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析。例如，函数是复合

4、函数，它是由函数复合而成的。c.复合函数的求导法则：复合函数y=f[g(x)]对自变量x的导数，等于外函数y=f(u)对中间变量u的导数y’u,乘以中间变量u对自变量x（即内函数）的导数u’x,即。法则推广：若函数y=f(u)在u点处可导，u=g(v)在v点处可导，v=h(x)在x点处可导，则复合函数y=f{g[h(x)]}在x点处可导，并且10疑难点、易错点剖析1、深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系（1）函数f(x)在一点x0处的导数f’(x0)是一个常数；（2）函数的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的。如果函数y=f(

5、x)在区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区间（a,b）内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f’(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f’(x)。在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数。(3)函数y=f(x)在x0处的导数f’(x0)就是导函数f’(x)在点x=x0处的函数值。即。2、利用导数的定义求函数在点x0处的导数的步骤：(1)求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。简记为:“一差、二比、三极限”。3.运用复合函数的求导法则，应注意以下几个问题：（1）分清楚复合函数的复合关系是由那

6、些基本函数复合而成，适当选定中间变量；（2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的系数，如(sin2x)’≠cos2x,而实际上应是(sin2x)’＝2cos2x。（3）根据基本函数的导数公式及导数运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数。例如求的导数。解析：因为函数是由函数复合而成的，所以。10当然，复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略不写，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始，由外及里逐层求导，即“层层剥皮”。直击考点考点一用导数

7、的定义求导数及导数的几何意义考例1用定义求的导数,并求在=1处的切线方程。思路分析：利用导数定义求出导数，再利用导数的几何意义解题。。在处的切线斜率.所以切线方程为y-=(x-1).即y=x+锦囊妙计：（1）注意函数在某点处的导数和函数本身的导数的区别：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，在点处的导数是函数的导数在处的函数值。（2）因“函数f(x)在点处的导数就是以该点为切点的切线PT的斜率k”，故常利用导数的几何意义求曲线的切线方程。举一反三：1.（06四川卷）曲线在点处的切线方程是（A）（B）（C）（D）10解：曲线，导数，得在点处的切线的斜率为，所

8、以切线方程是，选D.2.抛物线y=(1-2x)2在点x=处的切线方