导数的概念与运算(理

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1、§14.1导数的概念与运算（理）一、内容归纳1知识精讲：(一)导数的概念:1．设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即：122．如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。123

2、．可导函数是光滑连续函数（二）导数的几何意义：一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.　如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.　当点Q沿着曲线无接近点P，即12趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.　此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线

3、PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.，所以在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。(三)几点说明:1.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关.故函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。123.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。4.导数,若极限不存在，则称函数在点处不可导。5函数在处的导数的几何意义是曲线在点（）处的斜率.若在点可导，则曲线在点（

4、）处的切线方程为。126用定义求函数的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量。（2）.求平均变化率。（3）.取极限，得导数＝。(四)基本公式（1）;（2）（nÎQ）;（3）,;（4）,;（5）,;（6）;12（7）,;（8）(五)复合函数的导数:设有函数,,且在点处有导数,在点的对应点处也有导数,则复合函数在点处有导数,并且.2重点难点:导数的背景与概念；应用基本公式及复合函数的求导法则求函数的导数3思维方式:用极限的思想理解导数的概念.4特别注意:(1)函数在一点处的导数与函数在某区间上的导数是不同的概

5、念,要注意区分.12(2)求复合函数的导数时,应选好中间变量,搞清复合关系.二、问题讨论例1（1）设，则，则（2）若，则（3）函数极限的值为（4）已知，，则12的值为练习函数在点x0=0处是否有导数？若有，求出来，若没有说明理由。例2（1）设函数。若是奇函数，则_________。2）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　▲　12例3、已知曲线C：（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。练习:(1)求曲线在点

6、Ｍ（２，１）处切线的方程．(2)在抛物线y=x2+x-1上取横坐标为1,123的两点，过这两点引割线，在抛物线上哪一点处的切线平行于所引的割线？（3）:曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=－2x2－1相切，求点P的坐标.（4）：已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a..如果直线l同时是C1和C2的公切线，a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线，写出公切线方程12例4过点作曲线（，，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；……；依此下去，得到

7、一系列点，设点的横坐标是．（1）求证：，；（2）求证：；（3）求证：（注：）．12