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1、§14.1导数的概念与运算（理）一、内容归纳1知识精讲：（一）导数的概念：1.设函数丁二/⑴在x=x（）处附近有定义,当自变量在兀=兀0处有增量心时，则函数Y=f（x）相应地有增量Ay=/（x0+Ar）-/（x0）,Ay―兀。处的导数，记作b厂（）=lim/（xo+Ax）-/（xo）=心-0Ax兀-勺x-x0XT%如果AxtO时，Ay与Ax的比左（也叫函数的平均变化率）有极限即詈无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=/（无）在2•如果函数y二/⑴在开区间M内的每点处都有导数，此时对于每一个,都对应着一个确定的导数十⑴，从而构
2、成了一个新的函数f(兀)o称这个函数十⑴为函数尸/⑷在开区间内的导函数，简称导数，也可记作『，即/«)=『=lim型心t°Ax=limf(x+Ax)-f(x)Ax二于⑴在")处的导数『仁就是函数y=/(X)在开区间(a,b)(Xg(a,by)上导数//⑴在X。处的函数值，即/x=X0=f/(x0)o所以函数J=fW在兀0处的导数也记作广(兀0)O2•如果函数y二/⑴在开区间M内的每点处都有导数，此时对于每一个,都对应着一个确定的导数十⑴，从而构成了一个新的函数f(兀)o称这个函数十⑴为函数尸/⑷在开区间内的导函数，简称导数，也可记作『
3、，即/«)=『=lim型心t°Ax=limf(x+Ax)-f(x)Ax二于⑴在")处的导数『仁就是函数y=/(X)在开区间(a,b)(Xg(a,by)上导数//⑴在X。处的函数值，即/x=X0=f/(x0)o所以函数J=fW在兀0处的导数也记作广(兀0)O3・可导函数是光滑连续函数（二）导数的几何意义:一般地，设物体的运动规律是s=s（t）,则物体在t到（t+d）这段时间内的平均速度为討弋乜.如果b无As限趋近于0时，万无限趋近于某个常数a,就说当&趋向于0时，等的极限为a,这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.一般地,已知函数y=fM的
4、图象是曲线C,P（兀0，儿），Q（兀+心儿+人歹）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无接近点P,即心趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率％£无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说，当心趋向于0时,割线PQ的斜率％=警的极限为k・,所以尸/⑴在点观可导，则曲线—/⑴在点（兀0，/（兀0））处的切线方程为J-/（^0）=//（X0）（X-X0）o（三）几点说明:1・导数是一个局部概念，它只与函数y=fM在兀。及其附近的函
5、数值有关，与心无关•故函数应在点兀0的附近有定义，否则导数不存在。2•在定义导数的极限式中，心趋近于0可正、可负、但不为0,而3可能为0。3•左是函数7=/（兀）对自变量兀在心范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线『=/（%）上点（兀0，/（兀0））及点（X。+Ax,/（a：0+Ax））的割线斜率。4•导数・厂氐）=肥/(兀()+心)-/(“))Ax入f0X—兀0，若极限舸g弓严2不存在，则称函数y=fM在点"）处不可导。5函数丁=/⑴在X。处的导数的几何意义是曲线y=在点（兀。"。））处的斜率.若y=/（兀）在点兀。可导，则曲线y
6、=fM在点（XoJSo））处的切线方程为丁―/（兀0）=厂（兀0）（兀一兀0）。6用定义求函数y=/(x)的导数的一般方法是：(1)•求函数的改变量Ay=/(x+Ax)-f(x)o(2)•求平均变化率g=/(x+Ax)_/(x)Ax°(3)•取极限，得导数；=肥詈。(四)基本公式(1)(cy=o；(2)=nxn~x(nwQ);(3)(sinX)'二COSX，(cosx)'=sinx；(4)(lnx)'=+，(log.xY=^-logae.(5)7、fMgMX=广⑴gOO+,[c./«=cyv)；(8)*)、Jg(x)丿广⑴gOQ-/(x)g'(兀)（五）复合函数的导数:设有函数y=/（%），u=g（x），且u=g（x）在点兀处有导数g‘⑴，y=他）在点兀的对应点口处也有导数广（%），则复合函数y二/（g⑴）在点兀处有导数，并且乂=/'(u)・g'(x)・2重点难点：导数的背景与概念；应用基本公式及复合函数的求导法则求函数的导数3思维方式：用极限的思想理解导数的概念.4特别注意：（1）函数在一点处的导数与函数在某区间上的导数是不同的概念，要注意区分.(1)求复合函数的导数时，应选
8、好中间变量，搞清复合关系・二、问题讨论例1⑴设,则/(x)=(x-lXx-2)---(x-100),则广⑴二(2)若/U)=2,则(3)函数极限吧InVx-InJxl―兀。的值为(4)已知/(3)=2,广(3)—2，则衬
